Limit fungsi dapat diartikan sebagai nilai pendekatan suatu fungsi ketika variabelnya mendekati atau menuju suatu bilangan tertentu. Untuk memahami konsep limit, kita dapat mulai dengan mengajukan pertanyaan “Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika x mendekati bilangan tertentu?” atau lebih spesifiknya “Berapa nilai yang didekati f(x), jika x mendekati c?”
Secara umum, kita menggunakan notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L}$$ dibaca “limit dari f(x) untuk x mendekati c sama dengan L” atau “limit f di c sama dengan L” artinya jika x mendekati c dan x ≠ c maka f(x) mendekati L. Dengan kata lain, L adalah nilai yang didekati f(x) ketika x dekat namun berlainan dengan c.
Nilai limit f di c dapat ditaksir atau diprediksi secara numerik, yaitu dengan mengamati nilai-nilai fungsi f disekitar c ataupun dengan melihat langsung secara visual dari grafik fungsinya. Perhatikan contoh berikut!
Contoh 1
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x²
Jawab :
Berdasarkan tabel diatas, kita dapat menebak atau memprediksi bahwa f(x) akan mendekati 4 saat diambil nilai x yang mendekati 2, baik dari kiri maupun dari kanan. Faktanya, nilai f(x) = x² dapat dibuat sedekat mungkin ke 4 dengan cara mengambil x yang sangat dekat dengan 2. Dalam notasi limit, kondisi seperti ini kita tulis \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x² = 4.
Dari contoh diatas, cukup masuk akal bila kita beranggapan bahwa nilai limit sama saja dengan nilai fungsi. Cukup substitusikan x = 2 ke fungsi f, akan kita dapatkan nilai limitnya 4. Hal ini benar, jika memang fungsi f terdefinisi di c atau dengan kata lain f(c) ada nilainya, seperti contoh diatas.
Namun perlu kita ingat bahwa tidak semua fungsi terdefinisi disemua titik. Bisa saja suatu fungsi tidak terdefinisi di c namun mempunyai limit di c. Simak contoh berikut!
Contoh 2
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) \(\mathrm{\frac{x^{2}-1}{x-1}}\).
Jawab :
Dari tabel diatas, tampak bahwa nilai f(x) mendekati 2 ketika diambil nilai-nilai x yang mendekati 1, baik dari kiri maupun dari kanan.
Dapat kita lihat, kurvanya berlubang di x = 1 karena memang fungsi f tidak terdefinisi di titik tersebut. Namun, ketika x mendekati 1, nilai f(x) mendekati 2. Jadi, \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}\,\frac{x^{2}-1}{x-1}}\) = 2.
Catatan : Contoh 2 diatas sekaligus memberitahukan kepada kita bahwa saat bekerja dengan limit, fungsi f tidak harus terdefinisi di c. Karena konsentrasi kita adalah ketika x mendekati c, dengan kata lain x ≠ c.
Limit fungsi disuatu titik dapat dipandang dari dua arah, yaitu dari arah kiri dan kanan. Perhatikan ilustrasi berikut
Jika x < c maka x akan mendekati c dari arah kiri dan jika x > c maka x akan mendekati c dari arah kanan.
Secara umum kita menggunakan notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L}$$ dibaca “limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kiri sama dengan L” atau “limit kiri f di c sama dengan L” artinya jika x mendekati c dan x < c maka f(x) mendekati L.
$$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L}$$ dibaca “limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan sama dengan L” atau “limit kanan f di c sama dengan L” artinya jika x mendekati c dan x > c maka f(x) mendekati L.
Contoh 3
Perhatikan grafik fungsi f berikut, kemudian tentukan
a. f(2) dan f(5)
b. \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
d. \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x)
e. \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. f(2) = 1 dan f(5) tidak ada
b. Saat x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 3
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) = 3
c. Saat x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati -1
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) = -1
d. Saat x mendekati 5 dari kiri, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
e. Saat x mendekati 5 dari kanan, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Contoh 4
Perhatikan grafik fungsi f berikut, kemudian tentukan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) dan \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
Ketika x mendekati 2 dari kiri, nilai f(x) akan terus mengecil tanpa batas, akibatnya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Ketika x mendekati 2 dari kanan, nilai f(x) akan terus membesar tanpa batas, akibatnya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Catatan : Contoh diatas merupakan kasus limit tak hingga. Untuk kasus-kasus limit tak hingga, ada cara lain untuk mengekspresikan suatu limit tidak ada, yaitu dengan menggunakan notasi ∞, jika nilai f(x) bertambah besar tanpa batas dan notasi -∞, jika nilai f(x) bertambah kecil (negatif besar) tanpa batas.
Eksistensi Limit
Ada syarat yang harus dipenuhi agar suatu fungsi mempunyai limit di c. Limit f di c ada jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanan f di c ada dan nilainya sama. Kita tulis $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^{+}}=L}$$
Contoh 5
Berdasarkan grafik fungsi f dibawah ini, tentukan nilai limit berikut jika ada
a. \(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x)
b. \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. Untuk x mendekati -1
\(\mathrm{_{x \to -1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 1
\(\mathrm{_{x \to -1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 4
Karena limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x) tidak ada
b. Untuk x mendekati 1
\(\mathrm{_{x \to 1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Limit kiri = limit kanan = 2, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x) = 2
c. Untuk x mendekati 3
\(\mathrm{_{x \to 3^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 3^{+}}^{lim}}\) f(x) = 3
Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x) tidak ada
Pendekatan numerik dan grafik yang dipaparkan diatas merupakan cara yang paling tepat untuk memahami konsep limit, bukan menghitung nilai limit. Selama tidak ada pembenaran secara matematis, tidak ada jaminan bahwa taksiran atau prediksi kita benar 100%. Karena memang kita berangkat dari pemahaman limit secara intuitif.
Namun, kita masih bisa menghitung nilai limit secara presisi dengan menggunakan teorema-teorema limit. Dari teorema-teorema ini, dapat disusun metode-metode penyelesaian limit secara aljabar.