Pembuktian Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Advertisement
Continue Reading Below

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c

berlaku $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$
Bukti :

aturan%2Bsinus

Perhatikan segitiga ACD ⊥ D
Sin A = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\)
CD = AC. sin A
CD = b. sin A  ……………………(i)

Perhatikan segitiga BCD ⊥ D
Sin B = \(\mathrm{\frac{CD}{BC}}\)
CD = BC. sin B
CD = a. sin B  ……………………(ii)

Dari (i) dan (ii)
b. sin A = a. sin B
atau dapat ditulis $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}\;\;……(1)}$$
Perhatikan segitiga ABE ⊥ E
Sin B = \(\mathrm{\frac{AE}{AB}}\)
AE = AB. sin B
AE = c. sin B  ……………………(i)

Perhatikan segitiga ACE ⊥ E
Sin C = \(\mathrm{\frac{AE}{AC}}\)
AE = AC. sin C
AE = b. sin C  ……………………(ii)

Dari (i) dan (ii)
c. sin B = b. sin C
atau dapat ditulis $$\mathrm{\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}\;\;……(2)}$$
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya ab dan c, dengan C adalah sudut di depan sisi c, berlaku $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.\,cos\,C}$$
Bukti :

pembuktian%2Baturan%2Bcosinus

Perhatikan segitiga ACD ⊥ D
AD2 = AC2 − CD2
AD2 = b2 − x2  …………………….(1)

cos C = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{x}{b}}\)
x = b. cos C  ………………………..(2)

Perhatikan segitiga ABD ⊥ D
AD2 = AB2 − BD2
AD2 = c2 − (a − x)2  …………….(3)

Dari persamaan (1) dan (3)
c2 − (a − x)2 = b2 − x2
c2 − (a2 − 2ax + x2) = b2 − x2
c2 − a2 + 2ax  x2 = b2 − x2
c2 = a2 + b2  2ax  ……………….(4)

Substitusi (2) ke (4)
c2 = a2 + b2  2a(b. cos C)

diperoleh $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.\,cos\,C}$$

Advertisement
Continue Reading Below