Rumus Trigonometri Sudut Ganda Pada Matematika

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

Karena α + α = 2α dan sin α cos α = cos α sin α, maka persamaan diatas menjadi

Penurunan Rumus Cosinus Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus cos (α + β).

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

atau dapat kita tulis

Jika kita substitusikan sin²α = 1 – cos²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

Jika kita substitusikan cos²α = 1 – sin²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

Penurunan Rumus Tangen Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus tan (α + β). $$tan\,(\alpha +\beta )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\beta }{1-tan\,\alpha\cdot  tan\,\beta }$$ Jika α = β, maka rumus diatas menjadi $$tan\,(\alpha +\alpha )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\alpha }{1-tan\,\alpha\cdot  tan\,\alpha }$$ atau dapat kita tulis $$\mathbf{{ tan\,2\alpha=\frac{2\,tan\,\alpha}{1\,-\,tan^{2}\alpha}}}$$

Rumus trigonometri sudut ganda akan sangat berguna dalam menyederhanakan ekspresi-ekspresi trigonometri nantinya, khususnya pada pokok bahasan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti limit, turunan, integral dan persamaan trigonometri.

Berikut contoh-contoh soal yang dapat kita jadikan latihan dalam menggunakan dan memanipulasi rumus-rumus sudut ganda menjadi bentuk-bentuk lain yang masih tetap ekuivalen.

 Contoh 1 
Tentukan nilai dari sin 2α, cos 2α dan tan 2α jika diketahui sin α = 3/5, dengan α lancip!

Jawab :
Diketahui sin α = 3/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh cos α = 4/5 dan tan α = 3/4.

sin 2α = 2sin α cos α
sin 2α = 2(\(\frac{3}{5}\))(\(\frac{4}{5}\))
sin 2α = \(\frac{24}{25}\)

cos 2α = cos²α – sin²α
cos 2α = (\(\frac{4}{5}\))² – (\(\frac{3}{5}\))²
cos 2α = \(\frac{7}{25}\)

tan 2α = \(\mathrm{\frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha }}\)
tan 2α = \(\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}\)
tan 2α = \(\frac{24}{7}\)

 Contoh 2 
Diketahui sin α = p dan cos β = q.
Nyatakan \(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) dalam p dan q.

Jawab :
cos 2α  =  1 – 2sin²α  =  1 – 2p²
cos 2β  =  2cos²β – 1  =  2q² – 1

\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = \(\frac{1}{2}\)(1 – 2p² + 2q² – 1)
\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = \(\frac{1}{2}\)(2q² – 2p²)
\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = q² – p²

 Contoh 3 
Jika sin x = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) dengan 45° < x < 90°, maka cos 2x = …

Jawab :
cos 2x = 1 – 2sin²x
cos 2x = 1 – 2\(\left (\frac{\sqrt{3}}{3}  \right )^{2}\)
cos 2x = \(\frac{1}{3}\)

Karena 45° < x < 90° maka 90° < 2x < 180°. Akibatnya, cos 2x akan bernilai negatif. Jadi, cos 2x = -\(\frac{1}{3}\).

 Contoh 4 
Diketahui segitiga sama kaki ABC dengan ∠A = ∠B = α dan  ∠C = θ. Jika cos α = 4/5, maka tan θ = …

Jawab :
Diketahui cos α = 4/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh tan α = 3/4.

∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + α + θ = 180°
⇒ θ = 180° – 2α

tan θ = tan (180° – 2α)
tan θ = -tan 2α
tan θ = -\(\mathrm{ \frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha } }\)
tan θ = -\(\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}\)
tan θ = -\(\frac{24}{7}\)

 Contoh 5 
Gunakan rumus sinus sudut ganda untuk menyederhakankan bentuk-bentuk berikut!

(a)  8sin 3x cos 3x
Jawab :
8sin 3x cos 3x = 4 . 2sin 3x cos 3x
8sin 3x cos 3x = 4 . sin 2(3x)
8sin 3x cos 3x = 4sin 6x

(b)  cos 5x sin 5x
Jawab :
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) . 2sin 5x cos 5x
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) . sin 2(5x)
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) sin 10x

(c)  (sin 4x – cos 4x)² = 1 – sin 8x
Jawab :
(sin 4x – cos 4x)² = (sin 4x – cos 4x)(sin 4x – cos 4x)
(sin 4x – cos 4x)² = sin²4x + cos²4x – 2sin 4x cos 4x
(sin 4x – cos 4x)² = 1 – sin 2(4x)
(sin 4x – cos 4x)² = 1 – sin 8x

 Contoh 6 
Tentukan nilai eksak dari

(a)  sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
Jawab :
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . 2sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . sin 2\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . sin \(\left ( \frac{3\pi }{4} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{2}\)√2
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{4}\)√2

(b)  4cos²15° – 3
Jawab :
4cos²15° – 3 =  4cos²15° – 2  – 1
4cos²15° – 3 =  2 (2cos²15° – 1)  – 1
4cos²15° – 3 =  2 cos 2(15°)  – 1
4cos²15° – 3 =  2 cos 30°  – 1
4cos²15° – 3 =  2 (\(\frac{1}{2}\)√3)  – 1
4cos²15° – 3 =  √3 – 1

 Contoh 7 
Tunjukkan bahwa

(a)  sin²α = \(\frac{1}{2}\)(1 – cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 1 – 2sin²α
⇔ 2sin²α = 1 – cos 2α
⇔ sin²α = \(\frac{1}{2}\)(1 – cos 2α)

(b)  cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 2cos²α – 1
⇔ 2cos²α = 1 + cos 2α
⇔ cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α)




 Contoh 8 
Nyatakan cos²2x dan cos⁴x dalam suatu ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri dengan pangkat tertinggi satu ! (Gunakan sifat pada contoh 7)

Jawab :
Berdasarkan sifat cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α) maka
cos²2x = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2(2x))
cos²2x = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 4x)

cos⁴x = (cos²x)²
cos⁴x = (\(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2x))²
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(1 + 2cos 2x + cos²2x)
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(1 + 2cos 2x + \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 4x))
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(\(\frac{3}{2}\) + 2cos 2x + \(\frac{1}{2}\)cos 4x)
cos⁴x = \(\frac{3}{8}\) + \(\frac{1}{2}\)cos 2x + \(\frac{1}{8}\)cos 4x

 Contoh 9 
Tunjukkan bahwa 1 – cos nx = 2sin²(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\)), n konstan.

Jawab :
1 – cos nx = 1 – cos 2(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\))
Misalkan \(\mathrm{\frac{nx}{2}}\) = α, sehingga persamaan diatas menjadi

1 – cos nx = 1 – 1 + 2sin²α
1 – cos nx = 2sin²α
Substitusikan kembali α = \(\mathrm{\frac{nx}{2}}\) sehingga diperoleh
1 – cos nx = 2sin²(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\))

 Contoh 10 
Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam sinus! (Gunakan sifat pada contoh 9)

(a)  1 – cos 8x
Jawab :
1 – cos 8x = 2sin²(\(\mathrm{\frac{8x}{2}}\))
1 – cos 8x = 2sin²4x

(b)  cos 6x – 1
Jawab :
cos 6x – 1 = -(1 – cos 6x)
cos 6x – 1 = -2sin²(\(\mathrm{\frac{6x}{2}}\))
cos 6x – 1 = -2sin²3x

(c)  3 – 3cos 4x
Jawab :
3 – 3cos 4x = 3(1 – cos 4x)
3 – 3cos 4x = 3. 2sin²(\(\mathrm{\frac{4x}{2}}\))
3 – 3cos 4x = 3. 2sin²2x
3 – 3cos 4x = 6sin²2x

 Contoh 11 
Buktikan identitas berikut :

(a)  csc 2α – cot 2α = tan α
Jawab :
csc 2α – cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,2\alpha }-\frac{cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}\)
csc 2α – cot 2α = \(\mathrm{\frac{1\,-\,cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}\)
csc 2α – cot 2α = \(\mathrm{\frac{2\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}\)
csc 2α – cot 2α = \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha }}\)
csc 2α – cot 2α = tan α

(b)  cot 2α = \(\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}\)
Jawab :
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cos\,2\alpha}{sin\,2\alpha }}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cos^{2}\alpha \,-\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha }-\frac{sin^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos\,\alpha }{sin\,\alpha }-\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\frac{1}{2}\)(cot α – \(\mathrm{\frac{1}{cot\,\alpha}}\))
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{cot\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}\)

 Contoh 12 
Untuk 0 < x < 2π, tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x – 3sin x + 1 = 0

Jawab :
cos 2x – 3sin x + 1 = 0
(1 – 2sin²x) – 3sin x + 1 = 0
-2sin²x – 3sin x + 2 = 0
2sin²x + 3sin x – 2 = 0
(sin x + 2)(2sin x – 1) = 0
sin x = -2  atau  sin x = 1/2

sin x = -2   →   tidak mempunyai solusi
sin x = \(\frac{1}{2}\)   →   x = {30°, 150°}
Jadi, HP = {\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}\)}