Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat : Ilmu Matematika

Advertisement
Continue Reading Below

Pada materi grafik fungsi kuadrat telah disinggung bahwa jika digambarkan pada bidang koordinat, grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari koefisien-koefisien fungsi kuadrat tersebut.

Berikut beberapa karakteristik yang perlu diperhatikan dalam mensketsa grafik fungsi kuadrat.
1.  a > 0 : parabola terbuka ke atas
2.  a < 0 : parabola terbuka ke bawah
3.  D > 0 : memotong sumbu-x di dua titik
4.  D = 0 : menyinggung sumbu-x
5.  D < 0 : tidak memotong sumbu-x

Dari karakteristik diatas, kita akan memperoleh gambaran kasar tentang grafik fungsi kuadrat tersebut, yang tentu saja akan memudahkan dalam mensketsa nantinya.

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

Diberikan fungsi kuadrat \(\mathrm{y=f(x)=ax^{2}+bx+c}\)

1. Titik potong sumbu-X

Titik potong sumbu-x diperoleh pada saat \(\mathrm{y = 0}\). $$\mathrm{\left ( x_{1},0 \right )\;dan\;\left ( x_{2},0 \right )}$$ Dengan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

2. Titik potong sumbu-Y
Titik potong sumbu-y diperoleh pada saat \(\mathrm{x = 0}\).
y = f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c  $$\mathrm{\left ( 0,c \right )}$$
3. Persamaan sumbu simetri
Persamaan sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi 2 bagian yang simetris. $$\mathrm{x=\frac{-b}{2a}}$$
4. Nilai ekstrim
Nilai ekstrim disebut juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Jika nilai ekstrim dinyatakan dengan y, maka :  $$\mathrm{y=\frac{-D}{4a}}$$
5. Titik puncak
Titik puncak atau titik balik adalah titik dimana fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimum. $$\mathrm{P \left (\frac{-b}{2a} ,\frac{-D}{4a}  \right )}$$

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Catatan :

  1. Jika D = 0, maka titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.
  2. Jika D < 0, grafik tidak mempunyai titik potong sumbu-x.
  3. Jika b = 0, maka titik potong sumbu-y dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.

Contoh 1
Sketsalah grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=x^{2}-4x+3}\)

Jawab :
a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)
b = −4
c = 3

D = b2 − 4ac
D = (−4)2 − 4.1.3 = 4
D = 4
Karena D > 0, maka parabola memotong sumbu-x di dua titik.

Titik potong sumbu-x    ⇒ y = 0
x2 − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 atau x = 3
⇒  (1, 0) dan (3, 0)

Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
(0, c) ⇒ (0, 3)

Persamaan sumbu simetri
x = \(\mathrm{\frac{-b}{2a}}\) = \(\mathrm{\frac{-(-4)}{2.1}}\) = 2
x = 2

Nilai ekstrim
y = \(\mathrm{\frac{-D}{4a}}\) = \(\mathrm{\frac{-4}{4.1}}\)  = −1
y = −1

Titik puncak
\(\mathrm{P\left ( \frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a} \right )}\) ⇒  (2, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh 2
Gambarlah grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=-x^{2}-4x-4}\)

Jawab :
a = −1 < 0 (parabola terbuka ke bawah)
b = −4
c = −4

D = b2 − 4ac
D = (−4)2 − 4.(−1).(−4)
D = 0
Karena D = 0, maka parabola menyinggung sumbu-x, menyebabkan titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama.

Titik potong sumbu-x  ⇒  y = 0
−x2 − 4x − 4 = 0
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)(x + 2) = 0
x = −2
⇒  (−2, 0)

Karena titik potong sumbu-x dan titik puncak sama, yaitu (−2, 0), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = −2
Nilai ekstrim : y = 0

Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
 (0, c) ⇒ (0, 4)

Karena untuk menggambar parabola minimal diperlukan tiga buah titik, untuk itu kita dapat menentukan titik-titik bantu disekitar sumbu simetri (x = −2).

Untuk x = −1
y = f(−1) = −(−1)2 − 4(−1) − 4 = −1
⇒  (−1, −1)

Untuk x = −3
y = f(−3) = −(−3)2 − 4(−3) − 4 = −1
⇒  (−3, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh 3
Gambarlah grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=x^{2}+1}\)

Jawab :
a = 1 > 0  (parabola terbuka ke atas)
b = 0  (titik potong sumbu-y = titik puncak)
c = 1

D = b2 − 4ac
D = (0)2 − 4.1.1\
D = −4
Karena D < 0 maka parabola tidak mempunyai titik potong sumbu-x.

Titik potong sumbu-y
(0, c) ⇒ (0, 1)

Karena titik potong sumbu-y dan titik puncak sama yaitu : (0, 1), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = 0
Nilai ekstrim : y = 1

Titik-titik bantu :

Untuk x = 1
y = f(1) = (1)2 + 1 = 2
⇒  (1, 2)

Untuk x = 2
y = f(2) = (2)2 + 1 = 5
⇒  (2, 5)

Untuk x = −1
y = f(−1) = (−1)2 + 1 = 2
⇒  (−1, 2)

Untuk x = −2
y = f(−2) = (−2)2 + 1 = 5
⇒  (−2, 5)

Catatan :
Dengan mencerminkan titik-titik (1, 2) dan (2, 5) ke sumbu simetri (x = 0), maka akan diperoleh titik-titik (−1, 2) dan (−2, 5). Jadi tidak harus dicari satu per satu seperti cara diatas.

Selanjutnya, dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, maka akan terbentuk sebuah parabola sebagai berikut :

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi diatas merupakan salah satu contoh grafik fungsi definit positif, dimana grafiknya tidak memotong sumbu-x dan untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada diatas sumbu-x.

Advertisement
Continue Reading Below