Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku berurutan dari barisan aritmatika. Deret aritmatika disebut juga deret hitung dan dilambangkan dengan Sn, dimana n adalah bilangan asli yang menyatakan banyaknya suku yang akan dijumlahkan.
Misalkan U1 , U2 , U3 , … , Un adalah suku-suku suatu barisan aritmatika. Apabila suku-suku tersebut kita jumlahkan, maka akan terbentuk deret aritmatika sebagai berikut :
Jumlah satu suku pertama dilambangkan S1, jumlah dua suku pertama dilambangkan S2, dan begitu seterusnya jumlah n suku pertama dilambangkan Sn. Dapat kita tulis :
S1 = U1
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
…
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un
Contoh 1
S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika
Seperti yang kita tahu, setiap suku pada barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Oleh karenanya, deret aritmatika dapat kita nyatakan dalam persamaan berikut
Sn = U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + … + Un
Jika suku-suku pada ruas kanan diurutkan dari suku ke-n sampai suku ke-1, kita peroleh
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + U1
Apabila kedua persamaan diatas kita jumlahkan, maka akan diperoleh
Sn = U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + … + Un
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + U1 +
2Sn = (U1+Un) + (U1+Un) + (U1+Un) + … + (U1+Un)
Perhatikan bahwa ruas kanan merupakan penjumlahan (U1 + Un) sebanyak n, dapat kita tulis :
2Sn = n(U1 + Un) ↔ Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(U1 + Un)
Karena U1 = a dan Un = a + (n – 1)b, diperoleh
Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2a + (n – 1)b)
Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika, yaitu :
atau
Contoh 2
Diketahui : a = 3 dan b = 2
Jumlah 20 suku pertamanya adalah
S20 = \(\mathrm{\frac{20}{2}}\)(2a + (20 – 1)b)
S20 = 10 (2a + 19b)
S20 = 10 (2(3) + 19(2))
S20 = 10 (6 + 38)
S20 = 440
Contoh 3
-2 + 1 + 4 + 7 + … + 28
Diketahui : a = -2, b = 3 dan Un = 28
Un = a + (n – 1)b
28 = -2 + (n – 1)3
28 = -2 + 3n – 3
33 = 3n
n = 11
Jadi, jumlah dari deret aritmatika diatas adalah
S11 = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(a + U11)
S11 = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(-2 + 28)
S11 = 143
Sifat-Sifat Deret Aritmatika
Berikut ini beberapa sifat yang berkaitan dengan deret aritmatika!
Jika jumlah n suku pertama barisan aritmatika dinyatakan dalam bentuk Sn = pn2 + qn, maka suku pertama barisan tersebut adalah p + q dan bedanya 2p.
Contoh 4
Berdasarkan sifat diatas :
Sn = pn2 + qn → a = p + q dan b = 2p
Jadi, untuk Sn = 4n2 – 3n, maka
a = 4 + (-3) = 1
b = 2(4) = 8
Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 8.
Misalkan suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah Un dan jumlah n suku pertamanya adalah Sn. Maka berlaku \(\mathrm{U_{n}=S_{n}-S_{n-1}}\)
Contoh 5
Berdasarkan sifat diatas, maka U5 = S5 – S4
S5 = 2(5)2 – 3(5) = 35
S4 = 2(4)2 – 3(4) = 20
Jadi, U5 = 35 – 20 = 15
Sn = 3n2 – 2n , akibatnya
Sn-1 = 3(n – 1)2 – 2(n – 1)
Sn-1 = 3(n2 – 2n + 1) – 2(n – 1)
Sn-1 = 3n2 – 6n + 3 – 2n + 2
Sn-1 = 3n2 – 8n + 5
Un = Sn – Sn-1
Un = (3n2 – 2n) – (3n2 – 8n + 5)
Un = 3n2 – 2n – 3n2 + 8n – 5
Un = 6n – 5
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah Un = 6n – 5
Jika rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah \(\mathrm{S_{n}=pn^{2}+qn}\), maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah \(\mathrm{U_{n}=2pn+q-p}\)
Perhatikan kembali contoh 6 diatas!
Sn = 3n2 – 2n, dengan p = 3 dan q = -2.
Berdasarkan sifat diatas, maka
Un = 2(3)n + (-2) – 3
Un = 6n – 5
Soal Latihan Deret Aritmatika dan Pembahasan
Latihan 1
Suku pertama dan suku terakhir suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 5 dan 50. Jika jumlah semua suku barisan tersebut adalah 440, tentukan banyaknya suku barisan tersebut!
Jawab :
a = 5, Un = 50, Sn = 440, n = …
Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(a + Un)
440 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(5 + 50)
2 . 440 = n(55)
880 = 55n
n = 16
Jadi, banyaknya suku barisan tersebut adalah 16.
Latihan 2
Jumlah suku ketiga dan suku kesepuluh dari suatu barisan aritmatika adalah 30, sedangkan suku kesembilannya adalah 20. Tentukan jumlah 7 suku pertamanya!
Jawab :
U3 + U10 = 30
(a + 2b) + (a + 9b) = 30
2a + 11b = 30 ………………………………(1)
U9 = 20
a + 8b = 20 ………………………………….(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 4 dan b = 2
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah
S7 = \(\mathrm{\frac{7}{2}}\) (2a + (7 – 1)b)
S7 = \(\mathrm{\frac{7}{2}}\) (2(4) + 6(2))
S7 = 70
Latihan 3
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan jumlah 75. Jika bilangan ketiga dikurang bilangan pertama sama dengan 12, tentukan bilangan kelima!
Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut adalah
U1 , U2 , U3 , U4 , U5
U3 – U1 = 12
(a + 2b) – a = 12
2b = 12
b = 6
S5 = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4b) = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4(6)) = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 24) = 75
5a + 60 = 75
5a = 15
a = 3
U5 = a + 4b
U5 = 3 + 4(6)
U5 = 27
Jadi, bilangan kelima adalah 27
Latihan 4
Suku keempat dari deret aritmatika adalah 7, sedangkan jumlah dari 6 suku pertama sama dengan 36. Tentukan jumlah dari 10 buah suku pertama
Jawab :
U4 = 7
a + 3b = 7 …………………………………………….(1)
S6 = 36
\(\mathrm{\frac{6}{2}}\) (2a + 5b) = 36
2a + 5b = 12 …………………………………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 1 dan b = 2
S10 = \(\mathrm{\frac{10}{2}}\) (2a + 9b)
S10 = 5 (2(1) + 9(2))
S10 = 100
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 100
Latihan 5
Diketahui deret aritmatika dengan suku pertamanya 5. Jika U11 – U6 = 10, hitunglah S5
Jawab :
a = 5
U11 – U6 = 10
(a + 10b) – (a + 5b) = 10
5b = 10
b = 2
S5 = \(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4b)
S5 = \(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2(5) + 4(2))
S5 = 45
Latihan 6
Tentukan banyaknya bilangan pada deret aritmatika berikut agar jumlahnya = 63
15 + 13 + 11 + 9 + …
Jawab :
Diketahui : a = 15 dan b = -2
Sn = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (2a + (n – 1)b) = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (2(15) + (n – 1)(-2)) = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (32 – 2n) = 63
16n – n2 = 63
n2 – 16n + 63 = 0
(n – 7)(n – 9) = 0
n = 7 atau n = 9
Jadi, banyaknya bilangan agar jumlah deret tersebut sama dengan 63 adalah 7 atau 9 bilangan.
Latihan 7
Tentukan jumlah semua bilangan asli diantara 1 sampai 100, dimana bilangan tersebut
a. Habis dibagi 2
b. Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3
c. Habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3
Jawab :
(a) Habis dibagi 2, yaitu :
2, 4, 6, 8, 10, … , 98
Banyaknya bilangan :
Un = a + (n – 1)b
98 = 2 + (n – 1)2
98 = 2n
n = 49
Jumlah ke-49 bilangan tersebut :
S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (2a + 48b)
S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (2(2) + 48(2))
S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (100)
S49 = 2450
(b) Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3, yaitu :
6, 12, 18, 24, … , 96
Banyaknya bilangan :
Un = a + (n – 1)b
96 = 6 + (n – 1)6
96 = 6n
n = 16
Jumlah ke-16 bilangan tersebut :
S16 = \(\mathrm{\frac{16}{2}}\) (2a + 15b)
S16 = 8 (2(6) + 15(6))
S16 = 8 (102)
S16 = 816
(c) Jumlah semua bilangan asli diantara 1 – 100 yang habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3 yaitu : 2450 – 816 = 1634
Latihan 8
Diantara bilangan 6 dan 78 disisipkan 7 bilangan sedemikian sehingga terbentuk sebuah deret aritmatika. Tentukan beda dan jumlah dari deret aritmatika yang terbentuk
Jawab :
Beda yang terbentuk :
b = \(\mathrm{\frac{78-6}{7+1}}\) = 9
Banyaknya bilangan setelah disisipkan :
n = 7 + 2 = 9
Jumlah ke-9 bilangan tersebut adalah
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (2a + 8b)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (2(6) + 8(9))
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (84)
S9 = 378
atau
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (a + U9)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (6 + 78)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (84)
S9 = 378
Latihan 9
Sebuah tali dipotong menjadi 12 bagian yang panjang masing-masing membentuk deret aritmatika. Apabila potongan terpendek 4 cm dan potongan terpanjang 59 cm, hitunglah panjang tali semula!
Jawab :
Diketahui :
n = 12
a = 4
U12 = 59
Panjang tali semula adalah
S12 = \(\mathrm{\frac{12}{2}}\) (a + U12)
S12 = 6 (4 + 59)
S12 = 315
Jadi, panjang tali semula adalah 315 cm.
Latihan 10
Diketahui 1 + 5 + 9 + … + x = 276. Jika ruas kiri persamaan tersebut merepresentasikan deret aritmatika, maka nilai x adalah …
Jawab :
Diketahui : a = 1, b = 4, Un = x, Sn = 276
Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2a + (n – 1)b)
276 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2(1) + (n – 1)4)
276 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(4n – 2 )
276 = n(2n – 1)
2n2 – n – 276 = 0
(2n + 23)(n – 12) = 0
n = -23/2 atau n = 12
Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika
Un = a + (n – 1)b
x = 1 + (12 – 1)4
x = 1 + 44
x = 45
Latihan 11
Banyak suku suatu barisan aritmatika adalah 21. Jumlah 3 buah suku yang berada ditengah adalah 75, sedangkan jumlah 3 suku terakhir adalah 129. Tentukan jumlah semua suku barisan aritmatika tersebut!
Jawab :
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
U1, U2, U3, U4, … , U21
Suku tengahnya adalah suku ke (21 + 1)/2 = 11
Jadi, 3 suku ditengah adalah U10, U11, U12
Jumlah 3 suku yang berada ditengah adalah 75.
U10 + U11 + U12 = 75
(a + 9b) + (a + 10b) + (a + 11b) = 75
3a + 30b = 75
a + 10b = 25 ……………………………………(1)
Jumlah 3 suku terakhir adalah 129.
U19 + U20 + U21 = 129
(a + 18b) + (a + 19b) + (a + 20b) = 129
3a + 57b = 129
a + 19b = 43 ……………………………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5 dan b = 2
Jumlah semua suku barisan tersebut adalah
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (2a + 20b)
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (2(5) + 20(2))
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (50)
S21 = 525
Latihan 12
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika turun, dengan bilangan ketiga sama dengan 9. Jika jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, maka selisih bilangan kedua dengan bilangan keempat adalah…
Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut adalah
U1, U2, U3, U4, U5
Berdasarkan rumus suku tengah :
2U3 = U1 + U5
2(9) = U1 + U5
U1 + U5 = 18 …………………………….(1)
Jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, dapat ditulis :
S5 = U1 . U5
\(\frac{5}{2}\)(U1 + U5) = U1 . U5
\(\frac{5}{2}\)(18) = U1 . U5
U1 . U5 = 45 ………………………………(2)
Perhatikan persamaan (1) dan (2). Dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 18 dan jika dikalikan hasilnya 45 adalah 3 dan 15. Karena barisan aritmatika tersebut turun, maka U1 > U5.
Jadi, U1 = 15 dan U5 = 3
Hasil sementara bilangan-bilangan tersebut :
15, U2, 9, U4, 3