Limit Tak Hingga Pada Ilmu Matematika

Advertisement
Continue Reading Below
calculator scientific

Limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.

Diberikan sebuah fungsi f(x) = 1/x2. Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika nilai x semakin besar ? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita amati nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x berikut.

x = 1       → f(x) = 1
x = 10     → f(x) = 0,01
x = 100   → f(x) = 0,0001
x = 1000 → f(x) = 0,000001

Dari data diatas dapat kita lihat bahwa nilai f(x) semakin mendekati 0, ketika x semakin besar. Sekarang coba perhatikan grafik fungsinya.

limit%2Bdi%2Btak%2Bhingga

Jelas terlihat bahwa kurva y = 1/x2 semakin mendekati garis y = 0, ketika x semakin besar. Faktanya, seberapa besarpun x yang kita ambil, nilai 1/x2 akan semakin dekat ke 0.

Secara intuitif kita simpulkan, jika x semakin besar tanpa batas, nilai 1/x2 semakin dekat ke 0. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulis $$\mathrm{\lim_{x \to \infty }\;\frac{1}{x^{2}}=0}$$
Sekarang coba kita amati nilai fungsi f(x) = 1/x2 untuk nilai-nilai x berikut.
x = -1       → f(x) = 1
x = -10     → f(x) = 0,01
x = -100   → f(x) = 0,0001
x = -1000 → f(x) = 0,000001

Dari data diatas dapat kita lihat bahwa f(x) = 1/x2 juga semakin dekat ke 0, ketika x semakin kecil (negatif besar). Kita tulis $$\mathrm{\lim_{x \to -\infty }\;\frac{1}{x^{2}}=0}$$

Nilai fungsi f(x) tidak selalu mendekati bilangan tertentu, ketika x semakin besar. Bisa saja nilai f(x) justru semakin besar dan terus bertambah besar tanpa batas. Untuk kasus seperti ini, kita tulis $$\mathrm{\lim_{x \to \infty }\;f(x)=\infty}$$ artinya jika nilai x semakin besar tanpa batas, maka nilai f(x) juga semakin besar tanpa batas. Limit seperti ini disebut limit tak hingga di tak hingga.

 Contoh 1
Tentukan  \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }x^{2}}
\end{align}\)

Jawab :
Misalkan f(x) = x2
x = 1       →  f(x) = 1
x = 10     →  f(x) = 100
x = 100   →  f(x) = 10000

Seperti yang kita lihat, ketika x semakin besar, nilai x2 juga semakin besar, namun tidak mendekati suatu bilangan unik tertentu, melainkan terus bertambah besar tanpa batas. Kita simpulkan \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }x^{2}=\infty}
\end{align}\)

Perlu diketahui, teorema limit dasar masih bisa kita terapkan pada limit di tak hingga. Namun, untuk kasus-kasus yang melibatkan bentuk tak tentu, seperti (∞ – ∞), (∞/∞) atau (0.∞), perlu dilakukan manipulasi aljabar terlebih dahulu.

 Sifat A   Jika n > 0 dan n bilangan rasional, maka

  1.   \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x^{n}}=0 }\end{align}\)
     
  2.  \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to -\infty }\frac{1}{x^{n}}=0,\;\; }\end{align}\) xn terdefinisi untuk x < 0

 Contoh 2
Hitung  \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right )}
\end{align}\)

Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari polinom tersebut, kemudian hitung limit dari masing-masing faktor dengan berpedoman pada sifat A.

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right )}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\left ( 1-\frac{7}{x} \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\cdot \lim_{x \to \infty }\left ( 1-\frac{7}{x} \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\cdot \left ( 1-0 \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}} \\
& = \infty
\end{align}\)

 Contoh 3
Tentukan  \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}}
\end{align}\)

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x3, kemudian hitung limit dari masing-masing suku dengan berpedoman pada sifat A.

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x^{3}-4x}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}+x^{2}}{x^{3}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{1-\frac{4}{x^{2}}}{3+\frac{1}{x}}} \\
& = \frac{1-0}{3+0} \\
& = \frac{1}{3}
\end{align}\)

 Contoh 4
Hitung  \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}}
\end{align}\)

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x4, kemudian hitung limitnya.

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x^{3}-x}{x^{4}}}{\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{4}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}}{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}} \\
& = \frac{0-0}{1-0+0} \\
& = 0
\end{align}\)

 Contoh 5
Tentukan  \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}}
\end{align}\)

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x2, kemudian hitung limitnya.

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x-x^{3}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}-4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{1}{x}-x}{1-\frac{4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\frac{_{x \to \infty}^{lim}\,\frac{1}{x}-\;_{x \to \infty}^{lim}\,x}{_{x \to \infty}^{lim}\,1-\;_{x \to \infty}^{lim}\,\frac{4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\frac{0-\;_{x \to \infty}^{lim}\,x}{1-0}} \\
& = -\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x} \\
& = -\infty
\end{align}\)

 Contoh 6
Untuk n bilangan asli dan a0 ≠ 0, tunjukkan bahwa
\(\begin{align}
\lim_{x \to \infty }\left ( a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}\,+…+\,a_{n-1}x+a_{n} \right )=\lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}
\end{align}\)

Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari fungsi polinom tersebut,  kemudian hitung limitnya.

\(\begin{align}

& \lim_{x \to \infty }\left ( a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}\,+\,…\,+\,a_{n-1}x+a_{n} \right )\\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\left ( 1+\frac{a_{1}}{a_{0}x}\,+\,…\,+\,\frac{a_{n-1}}{a_{0}x^{n-1}}+\frac{a_{n}}{a_{0}x^{n}} \right )\\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\cdot \lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{a_{1}}{a_{0}x}\,+\,…\,+\,\frac{a_{n-1}}{a_{0}x^{n-1}}+\frac{a_{n}}{a_{0}x^{n}} \right )\\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\cdot(1+0\,+\,…\,+\,0+0) \\

\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}

\end{align}\)

 Sifat B   Jika p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan axm dan bxn berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x), maka

     1.  \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,p(x)=\lim_{x \to \pm \infty }\,ax^{m}}\end{align}\)

     2.  \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,q(x)=\lim_{x \to \pm \infty }\,bx^{n}}\end{align}\)
     3.  \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{ax^{m}}{bx^{n}} }\end{align}\)

    Sifat diatas mengatakan bahwa nilai limit di tak hingga fungsi polinom ataupun rasional sama dengan nilai limit dari suku pangkat tertingginya. Dengan menggunakan sifat diatas, contoh 2 – 5 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.

    \(\begin{align}
    \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right ) = \lim_{x \to \infty }\,x^{3}=\infty }
    \end{align}\)

    \(\begin{align}
    & \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}-x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}}{3x^{3}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{1}{3}=\frac{1}{3}}
    \end{align}\)

    \(\begin{align}
    & \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}}{x^{4}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{1}{x}=0}
    \end{align}\)

    \(\begin{align}
    & \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{-x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\,(-x)=-\infty }
    \end{align}\)

    Berdasarkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya, sifat B.3 dapat kita jabarkan lagi menjadi sebagai berikut.

     Sifat C   Misalkan p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan axm dan bxn berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x).

    1. Jika m = n maka
    2. \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a}{b}}\end{align}\) 
    3. Jika m < n maka
    4. \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=0 }\end{align}\)
    5. Jika m > n maka
    6. \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\left\{\begin{matrix}{\color{white} -}\infty,\;\;\;\mathrm{\frac{a}{b}>0} \\ -\infty ,\;\;\;\mathrm{\frac{a}{b}<0}\end{matrix}\right. }\end{align}\)

    Sifat diatas dapat kita terjemahkan dalam tiga poin berikut.

    1. Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut.
    2. Jika pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = 0.
    3. Jika pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = ∞ (asalkan perbandingan koefisiennya positif) atau -∞ (asalkan perbandingan koefisiennya negatif)

    Dengan menggunakan sifat C, contoh 2, 3 dan 4 dapat diselesaikan cukup dengan memperhatikan suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut, dalam hal ini adalah pangkat dan koefisiennya.

    \(\begin{align}
    \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}-x^{2}}=\frac{1}{3}}
    \end{align}\)

    Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.1, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut, yaitu 1/3.

    \(\begin{align}
    \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}=0}
    \end{align}\)

    Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.2, nilai limitnya = 0.

    \(\begin{align}
    \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}=-\infty}
    \end{align}\)

    Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut dan perbandingan koefisiennya negatif. Berdasarkan sifat C.3, nilai limitnya = -∞.

    Penyelesaian limit di tak hingga fungsi irasional (memuat fungsi irasional) hampir sama saja dengan fungsi polinom atau rasional. Sifat-sifat diatas masih dapat kita gunakan. Yang perlu kita cermati adalah saat bekerja dengan limit untuk x → -∞.

    Perlu kita ingat !
    Jika \(x>0\) maka \(\sqrt{x^{2}}=x\)
    Jika \(x<0\) maka \(\sqrt{x^{2}}=-x\)

    Secara umum, dapat dinyatakan sebagai berikut !
    1.  Untuk n > 0 dan n ganjil maka
          \(\begin{align}
    \sqrt{x^{2n}}=\left\{\begin{matrix}
    {\color{white} -}x^{n}\,,\;\;\;x>0\\-x^{n}\,,\;\;\;x<0
    \end{matrix}\right.
    \end{align}\)

    2.  Untuk n > 0 dan n genap maka
          \(\begin{align}
    \sqrt{x^{2n}}=x^{n}\,,\;\;\;x\in \mathbb{R}
    \end{align}\)

     Contoh 7 
    Hitung limit berikut !
    \(\begin{align}
    & a.\;\;\lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1} \\
    & b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
    \end{align}\)

    Jawab :
    Untuk \(\begin{align}
    x\rightarrow \infty
    \end{align}\)
    maka \(\begin{align}
    \sqrt{x^{2}}=x
    \end{align}\)

    Untuk \(\begin{align}
    x\rightarrow -\infty
    \end{align}\)
    maka \(\begin{align}
    \sqrt{x^{2}}=-x
    \end{align}\)

    \(\begin{align}
    a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
    & = \lim_{x \to \infty }\,\frac{\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{3}{x} \right )}}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
    & = \lim_{x \to \infty }\,\frac{x \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
    & = \lim_{x \to \infty }\,\frac{ \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
    & = \frac{\sqrt{4+0}}{2-0} \\
    & =1
    \end{align}\)

    \(\begin{align}
    b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\,\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
    & = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{3}{x} \right )}}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
    & = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{-x \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
    & = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{ -\sqrt{4+\frac{3}{x} }}{\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
    & = \frac{-\sqrt{4+0}}{2-0} \\
    & =-1
    \end{align}\)

    Contoh diatas dapat pula diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x. Dengan catatan, untuk limit x→-∞, nilai \(x=-\sqrt{x^{2}}\).


     Contoh 8 
    Hitung limit berikut !
    \(\begin{align} & a.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right ) \\ & b.\;\;\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right ) \end{align}\)

    Jawab :
    Jangan terburu-buru mengalikan bentuk diatas dengan akar sekawannya. Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu.

    Analisa opsi a !
    Jika \(x\rightarrow -\infty\), maka \(\sqrt{x^{2}-2x}\rightarrow \infty\) dan \(4x\rightarrow -\infty\).
    Akibatnya, \((\sqrt{x^{2}-2x}-4x)\rightarrow \infty-(-\infty)=\infty\)

    Analisa opsi b !
    Jika \(x\rightarrow \infty\) maka \(2x\rightarrow \infty\) dan \(\sqrt{4x^{2}+x}\rightarrow \infty\).
    Akibatnya, \((2x-\sqrt{4x^{2}+x})\rightarrow \infty-\infty\)  (tak tentu)

    \(\begin{align} & a.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right )=\infty \\ \end{align}\)

    \(\begin{align}
    b.\;\;& \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right ) \\
    & = \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right )\cdot \frac{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}} \\
    & = \lim_{x \to \infty }\frac{4x^{2}-(4x^{2}+x)}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}} \\
    & = \lim_{x \to \infty }\frac{-x}{2x+\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{1}{x} \right )}} \\
    & = \lim_{x \to \infty }\frac{-x}{2x+x\sqrt{4+\frac{1}{x}}} \\
    & = \lim_{x \to \infty }\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}} \\
    & = \frac{-1}{2+\sqrt{4+0}} \\
    & = -\frac{1}{4} \\
    \end{align}\)

     Contoh 9 
    Jika a = p dan a, p ≠ 0 tunjukkan bahwa
    \(\begin{align}
    & a.\lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
    & b.\lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\frac{b-q}{-2\sqrt{a}}
    \end{align}\)


    Jawab :
    \(\begin{align}
    a.\;\; \lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )
    \end{align}\)

    Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
    \(\begin{align}
    \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{ax^{2}+qx+r} \right )
    \end{align}\)

    Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh
    \(\begin{align} & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{\left (ax^{2}+bx+c \right )-\left ( ax^{2}+qx+r \right )}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;+\sqrt{ax^{2}+qx+r}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{(b-q)x+c-r}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;+\sqrt{ax^{2}+qx+r}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}} \right )}\;+\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}} \right )}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{x\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;+x\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{b-q+\frac{c-r}{x} }{\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;+\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\ & \Leftrightarrow \frac{b-q+0}{\sqrt{a+0+0}\;+\sqrt{a+0+0}}\\ & \Leftrightarrow \frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ \end{align}\)

    \(\begin{align}
    b.\;\; \lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )
    \end{align}\)

    Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
    \(\begin{align}
    \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{ax^{2}+qx+r} \right )
    \end{align}\)

    Kalikan dengan akar sekawannya, sederhanakan hingga diperoleh hasil sebagai berikut
    \(\begin{align}
    & \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}} \right )}\;+\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}} \right )}}
    \end{align}\)

    Perlu kita ingat bahwa untuk x → -∞ maka \(\begin{align}
    \sqrt{x^{2}}=-x
    \end{align}\)
    . Akibatnya, bentuk diatas menjadi
    \(\begin{align}

    & \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{-x\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;-x\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\
    & \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{b-q+\frac{c-r}{x} }{-\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;-\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\
    & \Leftrightarrow \frac{b-q+0}{-\sqrt{a+0+0}\;-\sqrt{a+0+0}}\\
    & \Leftrightarrow \frac{b-q}{-2\sqrt{a}}\\
    \end{align}\)

     Contoh 10 
    Hitung limit berikut dengan menggunakan sifat pada contoh 9 !
    \(\begin{align}
    & a.\;\;\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-1-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right ) \\
    & b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;+x+2 \right ) \\
    \end{align}\)


    Jawab :
    Alternatif penyelesaian : hitung limit dari suku konstan secara terpisah dan hitung limit dari suku lainnya menggunakan sifat pada contoh 9.a, dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam bentuk akar.

    \(\begin{align} a.\;\;& \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-1-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right ) \\ & = \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right )-\lim_{x \to \infty }\,1 \\ & = \lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{4x^{2}}\;-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right )-\lim_{x \to \infty }\,1 \\ & =\frac{0-(-2)}{2\sqrt{4}}\;-\;1\;\;\;\;\;\;\;(9.a) \\ & = -\frac{1}{2} \end{align}\)

    \(\begin{align} b.\;\;& \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;+x+2 \right ) \\ & = \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;-(-x) \right )+\lim_{x \to -\infty }\,2 \\ & = \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;-\sqrt{x^{2}} \right )+\lim_{x \to -\infty }\,2 \\ & = \frac{-4-0}{-2\sqrt{1}}\;+\;2 \;\;\;\;\;\;\;( 9.b)\\ & = 4 \end{align}\)

     Contoh 11 
    Hitung limit berikut !
    \(\begin{align}
    & a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x} \\
    & b.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
    \end{align}\)

    Jawab :
    \(\begin{align}
    & a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x} \\
    \end{align}\)

         Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
         Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya,

         \(\begin{align}
    \lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x}
    & = \lim_{u \to 0 }\,\frac{1}{u}\,sin\,u \\
    & = \lim_{u \to 0 }\,\frac{sin\,u}{u} \\
    & = 1
    \end{align}\)

    \(\begin{align}
    & b.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
    \end{align}\)

         Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
         Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya

         \(\begin{align}
    \lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
    & = \lim_{u \to 0 }\,\frac{sin\,u}{\frac{1}{u}\left ( 1-cos\,2u \right )} \\
    & = \lim_{u \to 0 }\,\frac{u\,sin\,u}{2\,sin^{2}u} \\
    & = \frac{1}{2}\cdot \lim_{u \to 0 }\,\frac{u}{sin\,u} \\
    & = \frac{1}{2}\cdot 1 \\
    & = \frac{1}{2}
    \end{align}\)

    Advertisement
    Continue Reading Below