Pembahasan soal tingkat SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Lingkaran yang meliputi persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran.
Persamaan Lingkaran
Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x2 + y2 = r2
Pusat (a, b) dan jari-jari r :
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Bentuk umum persamaan lingkaran :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\) − C
Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Titik (x1, y1)
Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x1 x + y1 y = r2
Pusat (a, b) dan jari-jari r :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m
Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
Pusat (a, b) dan jari-jari r :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
Gradien Garis
y = ax + b → m = a
ax + by + c = 0 → m = \(\mathrm{-\frac{a}{b}}\)
Garis p sejajar garis q :
mp = mq
Garis p tegak lurus garis q :
mp . mq = −1
Gradien garis yang membentuk sudut θ terhadap sumbu-x positif :
m = tan θ
Jarak titik (x1, y1) dan (x2, y2)
d = \(\mathrm{\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\)
Jarak titik (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0
d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)
UN 2016
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x − y + 4 = 0 adalah …
A. 2x − y = 14
B. 2x − y = 10
C. 2x − y = 5
D. 2x − y = −5
E. 2x − y = −6
Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
mg = gradien garis 2x − y + 4 = 0
2x − y + 4 = 0 → mg = 2
Karena garis singgung sejajar garis g, maka
m = mg = 2
m = 2
x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0
A = −2 ; B = 6 ; C = −10
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{(-2)}{2},-\frac{6}{2} \right )}\)
(a, b) = (1, −3)
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\) − C
r2 = \(\mathrm{\frac{(-2)^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{6^{2}}{4}}\) − (−10)
r2 = 20
r = \(\sqrt{20}\)
Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y + 3 = 2(x − 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y + 3 = 2x − 2 ± 10
y = 2x − 5 ± 10
y = 2x − 5 + 10 → 2x − y = −5
y = 2x − 5 − 10 → 2x − y = 15
Jawaban : D
UN 2015
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 adalah …
A. y = 2x − 14
B. y = 2x − 11
C. y = 2x + 5
D. y = 2x + 9
E. y = 2x + 15
Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
mg = gradien garis x + 2y + 1 = 0
x + 2y + 1 = 0 → mg = \(-\frac{1}{2}\)
Karena garis singgung tegak lurus garis g, maka
m . mg = −1
m . \(-\frac{1}{2}\) = −1
m = 2
x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0
A = 2 ; B = −6 ; C = −10
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{2}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)
(a, b) = (−1, 3)
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\) − C
r2 = \(\mathrm{\frac{2^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\) − (−10)
r2 = 20
r = \(\sqrt{20}\)
Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y − 3 = 2(x + 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y − 3 = 2x + 2 ± 10
y = 2x + 5 ± 10
y = 2x + 5 + 10 → y = 2x + 15
y = 2x + 5 − 10 → y = 2x − 5
Jawaban : E
UN 2015
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah …
A. x2 + y2 + 2x + 4y − 27 = 0
B. x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0
C. x2 + y2 + 2x − 4y − 32 = 0
D. x2 + y2 − 4x − 2y − 32 = 0
E. x2 + y2 − 4x + 2y − 7 = 0
Pembahasan :
Jarak titik (x1, x2) ke garis \(\mathrm{ax+by+c=0}\) adalah
d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)
Jari-jari adalah jarak dari titik pusat (−1, 2) ke garis \(\mathrm{x+y+7=0}\).
r = \(\mathrm{\left | \frac{1(-1)+1(2)+7}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right |}\) = 4√2
Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 1)2 + (y − 2)2 = (4√2)2
x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 32
x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0
Jawaban : B
UN 2013
Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah …
A. x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0
B. x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0
C. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0
D. x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0
A. x2 + y2 + 4x − 6y + 3 = 0
Pembahasan :
d = 8 → r = 4
Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 4 adalah
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 42
x2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 = 16
x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0
Jawaban : A
UN 2012
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …
A. x = 2 dan x = −4
B. x = 2 dan x = −2
C. x = −2 dan x = 4
D. x = −2 dan x = −4
E. x = 8 dan x = −10
Pembahasan :
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 9
(a, b) = (−1, 3)
r2 = 9
Titik potong lingkaran dengan garis y = 3 adalah
(x + 1)2 + (3 − 3)2 = 9
(x + 1)2 = 9
x + 1 = ±3
x + 1 = 3 atau x + 1 = −3
x = 2 atau x = −4
diperoleh titik potong (−4, 3) dan (2, 3)
PGS di titik (2, 3)
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3) = 9
3(x + 1) = 9
x + 1 = 3
x = 2
PGS di titik (−4, 3)
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3) = 9
−3(x + 1) = 9
x + 1 = −3
x = −4
Jawaban : A
UN 2008
Persamaan garis singgung melalui titik A(−2, −1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0 adalah …
A. −2x − y − 5 = 0
B. x − y + 1 = 0
C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x − 2y + 4 = 0
E. 2x − y + 3 = 0
Pembahasan :
Persamaan lingkaran :
x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0
A = 12 ; B = −6 ; C = 13
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{12}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)
(a, b) = (−6, 3)
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\) − C
r2 = \(\mathrm{\frac{12^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\) − 13
r2 = 32
Melalui titik (x1, y1) = (−2, −1)
Persamaan garis singgung :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−2 + 6)(x + 6) + (−1 − 3)(y − 3) = 32
4x + 24 − 4y + 12 = 32
4x − 4y + 4 = 0
x − y + 1 = 0
Jawaban : B
UN 2007
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x − 2)2 + (y + 1)2 = 13 di titik yang berabsis −1 adalah …
A. 3x − 2y − 3 = 0
B. 3x − 2y − 5 = 0
C. 3x + 2y − 9 = 0
D. 3x + 2y + 9 = 0
E. 3x + 2y + 5 = 0
Pembahasan :
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 13
(a, b) = (2, −1)
r2= 13
Untuk absis −1, maka :
(−1 − 2)2 + (y + 1)2 = 13
9 + (y + 1)2 = 13
(y + 1)2 = 4
y + 1 = ±2
y + 1 = 2 atau y + 1 = −2
y = 1 atau y = −3
diperoleh titik singgung :
(−1, 1) dan (−1, −3)
Persamaan garis singgung di titik (−1, 1) :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−1 − 2)(x − 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 + 2y + 2 = 13
−3x + 2y − 5 = 0
3x − 2y + 5 = 0
Persamaan garis singgung di titik (−1, −3) :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−1 − 2)(x − 2) + (−3 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 − 2y − 2 = 13
−3x − 2y − 9 = 0
3x + 2y + 9 = 0
Jawaban : D
UN 2006
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif adalah …
A. x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
B. x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0
C. x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
D. x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0
E. x2 + y2 − 2x − 2y + 4 = 0
Pembahasan :
Misalkan pusat lingkaran adalah (a, b).
(a, b) terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, akibatnya
2a − 4b − 4 = 0 ………………(1)
Lingkaran menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, akibatnya
a = b dengan a, b < 0.
Karena a = b maka persamaan (1) menjadi
2a − 4a − 4 = 0
-2a = 4
a = -2
Diperoleh pusat lingkaran :
(a, b) = (−2, −2)
dengan jari-jari :
r = |a| = |b| = 2
Persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y + 2)2 = 22
x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4
x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
Jawaban : A
UN 2003
Salah satu garis singgung yang bersudut 120° terhadap sumbu-x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, −2) adalah …
A. y = −x√ 3 + 4√ 3 + 12
B. y = −x√ 3 − 4√ 3 + 8
C. y = −x√ 3 + 4√ 3 − 4
D. y = −x√ 3 − 4√ 3 − 8
E. y = −x√ 3 + 4√ 3 + 22
Pembahasan :
Diameter lingkaran adalah jarak dari titik (7, 6) ke titik (1, −2), yaitu :
d = \(\sqrt{(7-1)^{2}+(6-(-2))^{2}}\) = 10
r = \(\frac{1}{2}\)d = 5
r = 5
Pusat lingkaran adalah titik tengah diameter, yaitu :
(a, b) = \(\left ( \frac{7+1}{2},\,\frac{6+(-2)}{2} \right )\) = (4, 2)
(a, b) = (4, 2)
Garis singgung membentuk sudut 120° terhadap sumbu-x positif, sehingga :
m = tan 120°
m = −√3
Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y − 2 = −√3(x − 4) ± 5\(\mathrm{\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}}\)
y − 2 = −√3x + 4√3 ± 10
y = −√3x + 4√3 ± 12
y = −√3x + 4√3 + 12
y = −√3x + 4√3 − 12
Jawaban : A