Pembahasan Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Advertisement
Continue Reading Below
pexels photo 240163

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen.

Materi-materi yang harus dikuasai dengan baik :

  • Menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyederhanakan bentuk-bentuk eksponen.
  • Memfaktorkan persamaan kuadrat.
  • Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
  • Menggunakan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan eksponen.


1.   UN 2003


Penyelesaian persamaan  \(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}}
\end{align}\) adalah p dan q, dengan p > q. Nila p + 6q = …
A.   17
B.   -1
C.   4
D.   6
E.   9

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}} & = \mathrm{\frac{1}{32^{x-1}}} \\
\mathrm{8^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{32^{-(x-1)}} \\
\mathrm{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{\left ( 2^{5} \right )^{-(x-1)}} \\
\mathrm{{\color{Red} 2}^{ \frac{3\left ( x^{2}-4x+3 \right )}{2} }} & = \mathrm{{\color{Red} 2}^{-5(x-1)}} \\
\mathrm{\frac{3(x^{2}-4x+3)}{2}} & =\mathrm{-5(x-1)} \\
\mathrm{3(x^{2}-4x+3)} & = \mathrm{-10(x-1)} \\
\mathrm{3x^{2}-12x+9} & = \mathrm{-10x+10} \\
\mathrm{3x^{2}-2x-1} & = 0 \\
\mathrm{(3x+1)(x-1)} & = 0 \\
\mathrm{x=-1/3\;\;atau\;\;} & \mathrm{x=1}
\end{align}\)

Karena p > q, maka p = 1 dan q = -1/3.
Jadi, nilai p + 6 =  1 + 6(-1/3)  =  -1

Jawaban : B


2.   UN 2006


Akar-akar persamaan eksponen 32x – 10.3x+1 + 81 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai x1 – x2 = …
A.   -4
B.   -2
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
32x  –  10.3x+1  +  81  =  0
(3x)2  –  10.3x.31  +  81  =  0 
(3x)2  –  30(3x)  +  81  =  0
(3x – 3)(3x – 27) = 0
3x  = 3  atau  3x = 27
x = 1  atau  x = 3

Karena  x1 > x2, maka x1 = 3 dan x2 = 1.
Jadi,  x1 – x2  =  3 – 1  =  2

Jawaban : C


3.   UN 2006


Akar-akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = …
A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
2.34x  –  20.32x  +  18  =  0
2(32x)2  –  20(32x)  +  18  =  0     ÷ 2
(32x)2  –  10(32x)  +  9  =  0
(32x – 1)(32x – 9) = 0
32x = 1  atau  32x = 9
32x = 30  atau  32x = 32
2x = 0  atau  2x = 2
x = 0  atau  x = 1

Jadi, nilai x1 + x2  =  0 + 1  =  1

Jawaban : B


4.   UN 2007


Akar-akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka 3x1 – x2 = …
A.   -5
B.   -1
C.   4
D.   5
E.   7

Pembahasan :
32x+1  –  28.3x  +  9  =  0
32x.31  –  28.3x  +  9  =  0
3(3x)2  –  28(3x)  +  9  =  0

Misalkan y = 3x, persamaan diatas menjadi
3y2 – 28y + 9 = 0
(3y – 1)(y – 9) = 0
y = 1/3  atau  y = 9

Karena y = 3x, maka penyelesaiannya menjadi
3x = 1/3  atau  3x = 9
3x = 3-1  atau  3x = 32
x = -1  atau  x = 2

Karena x1 > x2, maka x1 = 2 dan x2 = -1.
Jadi, 3x1 – x2 = 3(2) – (-1) = 7

Jawaban : E


5.   UN 2008


Bila x1 dan x2 penyelesaian dari persamaan 22x – 6.2x+1 + 32 = 0 dan x1 > x2, maka nilai 2x1 + x2 = …
A.   1/4
B.   1/2
C.   4
D.   8
E.   16

Pembahasan :
22x  –  6.2x+1  +  32  =  0
(2x)2  –  6.2x.21  +  32  =  0
(2x)2  –  12(2x)  +  32  =  0
(2x – 4)(2x – 8) = 0
2x = 4  atau  2x = 8
x = 2  atau  x = 3

Karena x1 > x2, maka x1 = 3 dan x2 = 2.
Jadi, nilai 2x1 + x2  =  2(3) + 2  =  8

Jawaban : D


6.   UN 2008


Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen \(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}\geq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}}
\end{align}\) adalah …
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{\left ( 3^{2} \right )^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{3^{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{3^{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{4x-8}} & \geq \mathrm{{-3x^{2}+12}} \\
\mathrm{{3x^{2}+4x-20}} & \geq 0 \\
\end{align}\)

Pembuat nol :
3x2 + 4x – 20 = 0
(3x + 10)(x – 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Jawaban : C

7.   UN 2009


Akar-akar persamaan 5x+1 + 52-x = 30 adalah a dan b, maka a + b = …
A.   6
B.   5
C.   4
D.   1
E.   0

Pembahasan :

5x+1  +  52-x  =  30
5x.51  +  52.5-x  =  30 
5(5x)  +  25(5-x)  =  30    × 5x
5(5x)2  +  25  =  30(5x)
5(5x)2  –  30(5x)  +  25  =  0   ÷ 5
(5x)2  –  6(5x)  +  5  =  0
(5x – 1)(5x – 5) = 0
5x = 1  atau 5x = 5
x = 0  atau  x = 1

Diperoleh a = 0 dan b = 1.
Jadi, a + b  =  0 + 1  =  1

Jawaban : D


8.   UN 2009


Akar-akar persamaan 9x – 12.3x + 27 = 0 adalah α dan β. Nilai αβ = …
A.   -3
B.   -2
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan :
9x  –  12.3x  +  27  =  0
(3x)2  –  12(3x)  +  27  =  0
(3x – 3)(3x – 9) = 0
3x = 3  atau 3x = 9
x = 1  atau  x = 2

Diperoleh α = 1  dan  β = 2.
Jadi, nilai αβ = 1.2 = 2

Jawaban : D


9.   UN 2012


Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x – 6.5x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah …
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
52x  –  6.5x+1  +  125  >  0
(5x)2  –  6.5x.51  +  125  >  0
(5x)2  –  30(5x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 – 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y2 – 30y + 125 = 0
(y – 5)(y – 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5x, maka penyelesaiannya menjadi
5x < 5  atau  5x > 25
5x < 51  atau  5x > 52
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D


10.   UN 2014


Himpunan penyelesaian dari 32x – 6.3x < 27 adalah …
A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
32x  –  6.3x  <  27
(3x)2  –  6(3x)  –  27  <  0

Misalkan y = 3x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 – 6y – 27 < 0

Pembuat nol :
y2 – 6y – 27 = 0
(y + 3)(y – 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3x, maka
3x > -3  dan  3x < 9
3x > -3  dan  3x < 32
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C


11.   UN 2017


Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3.4x – 7.2x + 2 > 0 adalah …
A.   x < -1  atau x > 2log 3
B.   x < 2log 1/3  atau  x > 1
C.   2log 1/3 < x < 1
D.   x < 1  atau  x > 2log 1/3
E.   1 < x < 2log 1/3

Pembahasan :
3.4x  –  7.2x  +  2  >  0
3(2x)2  –  7(2x)  +  2  >  0

Misalkan y = 2x, pertidaksamaan diatas menjadi
3y2 – 7y + 2 > 0

Pembuat nol :
3y2  – 7y + 2 = 0
(3y – 1)(y – 2) = 0
y = 1/3  atau  y = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 1/3  atau  y > 2

Karena y = 2x, maka
2x < 1/3             atau  2x > 2
\(\mathrm{2^{x}}\) < \(\mathrm{2^{^{2}log\,1/3}}\)  atau  2x > 21
x < 2log 1/3   atau  x > 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
x < 2log 1/3  atau  x > 1

Jawaban : B


12.   UN 2017


Penyelesaian dari 5-2x+2 + 74 . 5-x – 3 ≥ 0 adalah …
A.   x ≤ -3  atau  x ≥ 1/25
B.   -3 ≤ x ≤ 1/25
C.   x ≤ 2
D.   x ≥ 2
E.   x ≥ -2

Pembahasan :
5-2x+2  +  74 . 5-x  –  3 ≥ 0
5-2x . 52  +  74 . 5-x  –  3 ≥ 0
25(5-x)2  +  74(5-x)  –  3  ≥  0

Misalkan y = 5-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y2 + 74y – 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y2 + 74y – 3 = 0
(y + 3)(25y – 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5-x, maka
5-x ≤ -3  ⟶  tidak mempunyai penyelesaian
5-x ≥ 1/25  ⇔  5-x ≥ 5-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C

Advertisement
Continue Reading Below