Pembahasan Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen.

Materi-materi yang harus dikuasai dengan baik :

• Menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyederhanakan bentuk-bentuk eksponen.
• Memfaktorkan persamaan kuadrat.
• Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
• Menggunakan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan eksponen.

1.   UN 2003

Penyelesaian persamaan  \(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}}
\end{align}\) adalah p dan q, dengan p > q. Nila p + 6q = …
A.   17
B.   -1
C.   4
D.   6
E.   9

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}} & = \mathrm{\frac{1}{32^{x-1}}} \\
\mathrm{8^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{32^{-(x-1)}} \\
\mathrm{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{\left ( 2^{5} \right )^{-(x-1)}} \\
\mathrm{{\color{Red} 2}^{ \frac{3\left ( x^{2}-4x+3 \right )}{2} }} & = \mathrm{{\color{Red} 2}^{-5(x-1)}} \\
\mathrm{\frac{3(x^{2}-4x+3)}{2}} & =\mathrm{-5(x-1)} \\
\mathrm{3(x^{2}-4x+3)} & = \mathrm{-10(x-1)} \\
\mathrm{3x^{2}-12x+9} & = \mathrm{-10x+10} \\
\mathrm{3x^{2}-2x-1} & = 0 \\
\mathrm{(3x+1)(x-1)} & = 0 \\
\mathrm{x=-1/3\;\;atau\;\;} & \mathrm{x=1}
\end{align}\)

Karena p > q, maka p = 1 dan q = -1/3.
Jadi, nilai p + 6q  =  1 + 6(-1/3)  =  -1

Jawaban : B

2.   UN 2006

Akar-akar persamaan eksponen 3^2x – 10.3^x+1 + 81 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka nilai x₁ – x₂ = …
A.   -4
B.   -2
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
3^2x  –  10.3^x+1  +  81  =  0
(3^x)²  –  10.3^x.3¹  +  81  =  0 
(3^x)²  –  30(3^x)  +  81  =  0
(3^x – 3)(3^x – 27) = 0
3^x  = 3  atau  3^x = 27
x = 1  atau  x = 3

Karena  x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 1.
Jadi,  x₁ – x₂  =  3 – 1  =  2

Jawaban : C

3.   UN 2006

Akar-akar persamaan 2.3^4x – 20.3^2x + 18 = 0 adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ = …
A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
2.3^4x  –  20.3^2x  +  18  =  0
2(3^2x)²  –  20(3^2x)  +  18  =  0     ÷ 2
(3^2x)²  –  10(3^2x)  +  9  =  0
(3^2x – 1)(3^2x – 9) = 0
3^2x = 1  atau  3^2x = 9
3^2x = 3⁰  atau  3^2x = 3²
2x = 0  atau  2x = 2
x = 0  atau  x = 1

Jadi, nilai x₁ + x₂  =  0 + 1  =  1

Jawaban : B

4.   UN 2007

Akar-akar persamaan 3^2x+1 – 28.3^x + 9 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka 3x₁ – x₂ = …
A.   -5
B.   -1
C.   4
D.   5
E.   7

Pembahasan :
3^2x+1  –  28.3^x  +  9  =  0
3^2x.3¹  –  28.3^x  +  9  =  0
3(3^x)²  –  28(3^x)  +  9  =  0

Misalkan y = 3^x, persamaan diatas menjadi
3y² – 28y + 9 = 0
(3y – 1)(y – 9) = 0
y = 1/3  atau  y = 9

Karena y = 3^x, maka penyelesaiannya menjadi
3^x = 1/3  atau  3^x = 9
3^x = 3^-1  atau  3^x = 3²
x = -1  atau  x = 2

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 2 dan x₂ = -1.
Jadi, 3x₁ – x₂ = 3(2) – (-1) = 7

Jawaban : E

5.   UN 2008

Bila x₁ dan x₂ penyelesaian dari persamaan 2^2x – 6.2^x+1 + 32 = 0 dan x₁ > x₂, maka nilai 2x₁ + x₂ = …
A.   1/4
B.   1/2
C.   4
D.   8
E.   16

Pembahasan :
2^2x  –  6.2^x+1  +  32  =  0
(2^x)²  –  6.2^x.2¹  +  32  =  0
(2^x)²  –  12(2^x)  +  32  =  0
(2^x – 4)(2^x – 8) = 0
2^x = 4  atau  2^x = 8
x = 2  atau  x = 3

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 2.
Jadi, nilai 2x₁ + x₂  =  2(3) + 2  =  8

Jawaban : D

6.   UN 2008

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen \(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}\geq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}}
\end{align}\) adalah …
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{\left ( 3^{2} \right )^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{3^{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{3^{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{4x-8}} & \geq \mathrm{{-3x^{2}+12}} \\
\mathrm{{3x^{2}+4x-20}} & \geq 0 \\
\end{align}\)

Pembuat nol :
3x² + 4x – 20 = 0
(3x + 10)(x – 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

7.   UN 2009

Akar-akar persamaan 5^x+1 + 5^2-x = 30 adalah a dan b, maka a + b = …
A.   6
B.   5
C.   4
D.   1
E.   0

Pembahasan :

8.   UN 2009

Akar-akar persamaan 9^x – 12.3^x + 27 = 0 adalah α dan β. Nilai αβ = …
A.   -3
B.   -2
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan :
9^x  –  12.3^x  +  27  =  0
(3^x)²  –  12(3^x)  +  27  =  0
(3^x – 3)(3^x – 9) = 0
3^x = 3  atau 3^x = 9
x = 1  atau  x = 2

Diperoleh α = 1  dan  β = 2.
Jadi, nilai αβ = 1.2 = 2

Jawaban : D

9.   UN 2012

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x – 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah …
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
5^2x  –  6.5^x+1  +  125  >  0
(5^x)²  –  6.5^x.5¹  +  125  >  0
(5^x)²  –  30(5^x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² – 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² – 30y + 125 = 0
(y – 5)(y – 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5  atau  5^x > 25
5^x < 5¹  atau  5^x > 5²
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D

10.   UN 2014

Himpunan penyelesaian dari 3^2x – 6.3^x < 27 adalah …
A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
3^2x  –  6.3^x  <  27
(3^x)²  –  6(3^x)  –  27  <  0

Misalkan y = 3^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² – 6y – 27 < 0

Pembuat nol :
y² – 6y – 27 = 0
(y + 3)(y – 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3^x, maka
3^x > -3  dan  3^x < 9
3^x > -3  dan  3^x < 3²
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C

11.   UN 2017

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3.4^x – 7.2^x + 2 > 0 adalah …
A.   x < -1  atau x > ²log 3
B.   x < ²log 1/3  atau  x > 1
C.   ²log 1/3 < x < 1
D.   x < 1  atau  x > ²log 1/3
E.   1 < x < ²log 1/3

Pembahasan :
3.4^x  –  7.2^x  +  2  >  0
3(2^x)²  –  7(2^x)  +  2  >  0

Misalkan y = 2^x, pertidaksamaan diatas menjadi
3y² – 7y + 2 > 0

Pembuat nol :
3y²  – 7y + 2 = 0
(3y – 1)(y – 2) = 0
y = 1/3  atau  y = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 1/3  atau  y > 2

Karena y = 2^x, maka
2^x < 1/3             atau  2^x > 2
\(\mathrm{2^{x}}\) < \(\mathrm{2^{^{2}log\,1/3}}\)  atau  2^x > 2¹
x < ²log 1/3   atau  x > 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
x < ²log 1/3  atau  x > 1

Jawaban : B

12.   UN 2017

Penyelesaian dari 5^-2x+2 + 74 . 5^-x – 3 ≥ 0 adalah …
A.   x ≤ -3  atau  x ≥ 1/25
B.   -3 ≤ x ≤ 1/25
C.   x ≤ 2
D.   x ≥ 2
E.   x ≥ -2

Pembahasan :
5^-2x+2  +  74 . 5^-x  –  3 ≥ 0
5^-2x . 5²  +  74 . 5^-x  –  3 ≥ 0
25(5^-x)²  +  74(5^-x)  –  3  ≥  0

Misalkan y = 5^-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y² + 74y – 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y² + 74y – 3 = 0
(y + 3)(25y – 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5^-x, maka
5^-x ≤ -3  ⟶  tidak mempunyai penyelesaian
5^-x ≥ 1/25  ⇔  5^-x ≥ 5^-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C