Dalam trigonometri, lingkaran satuan didefinisikan sebagai lingkaran yang berpusat di titik asal O(0, 0) dengan jari-jari sebesar 1 satuan. Setiap titik yang berada pada lingkaran satuan memenuhi persamaan
Selanjutnya, persamaan diatas disebut dengan persamaan lingkaran satuan.
Definisi Sinus dan Cosinus pada Lingkaran Satuan
Misalkan θ adalah sudut yang berada pada posisi baku. Jika sisi terminal sudut θ berpotongan dengan lingkaran satuan di titik P, maka koordinat titik P(x, y) didefinisikan
Ketika θ berubah, posisi titik P akan berpindah mengikuti besar sudut θ dan tentunya nilai cos θ dan sin θ juga akan ikut berubah.
Tanda Trigonometri di Setiap Kuadran
Perhatikan diagram berikut !
Kuadran I dibatasi oleh sumbu x positif dan sumbu y positif. Akibatnya, untuk setiap titik (x, y) di kuadran I, koordinat x dan y akan bernilai positif. Karena x = cos θ dan y = sin θ, maka cos θ dan sin θ bernilai positif, untuk setiap θ di kuadran I.
Kuadran II dibatasi sumbu x negatif dan sumbu y positif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran II, cos θ bernilai negatif dan sin θ bernilai positif.
Kuadran III dibatasi sumbu x negatif dan sumbu y negatif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran III, cos θ bernilai negatif dan sin θ bernilai negatif.
Kuadran IV dibatasi sumbu x positif dan sumbu y negatif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran IV, cos θ bernilai positif dan sin θ bernilai negatif.
Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif
Perhatikan gambar berikut !
Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, koordinat titik P dan P’ adalah
P(cos θ, sin θ)
P'(cos (-θ), sin (-θ)) …………………..(*)
Titik P’ dapat kita pandang sebagai hasil pencerminan titik P(cos θ, sin θ) dengan sumbu x. Dengan demikian, koordinat titik P’ adalah
P'(cos θ, -sin θ) ……………………….(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh persamaan
sin(-θ) = -sin θ
cos(-θ) = cos θ
Perbandingan Trigonometri Sudut Kuadrantal
Sudut kuadrantal adalah sudut dalam posisi baku dimana sisi terminalnya berada pada sumbu x atau sumbu y. Contohnya, sudut 0, 90°, 180°, 270° dan semua sudut yang koterminal dengan sudut-sudut tersebut. Secara umum, sudut kuadrantal dinyatakan dalam bentuk n.90°, dengan n bilangan bulat.
Perhatikan sudut-sudut kuadrantal berikut!
Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, maka
A(cos 0°, sin 0°) = (1, 0)
B(cos 90°, sin 90°) = (0, 1)
C(cos 180°, sin 180°) = (-1, 0)
D(cos 270°, sin 270°) = (0, -1)
Berikut nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut kuadrantal pada interval 0° − 360°.
|
θ
|
0°
|
90°
|
180°
|
270°
|
360°
|
|
sin θ
|
0
|
1
|
0
|
−1
|
0
|
|
cos θ
|
1
|
0
|
−1
|
0
|
1
|
|
tan θ
|
0
|
tdf
|
0
|
tdf
|
0
|
*tdf = tidak terdefinisi
Perbandingan Trigonometri Suatu Berelasi
Kita ambil contoh untuk relasi sudut α dan (180° – α). Secara geometri, relasi sudut α dan (180° – α) dapat kita gambarkan sebagai berikut.
Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, koordinat titik P adalah
P(cos(180° – α), sin(180° – α)) …………………..(*)
Perhatikan segitiga OPP’ siku-siku di P’. Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, maka
cos α = OP’/1 → OP’ = cos α
sin α = PP’/1 → PP’ = sin α
Titik P berada dikuadran II, dengan OP’ = cos α dan PP’ = sin α. Dengan demikian, koordinat titik P adalah
P(-cos α, sin α) ……………………………………….(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh persamaan
sin(180° – α) = sin α ………………………(1)
cos(180° – α) = -cos α …………………….(2)
Untuk perbandingan trigonometri sudut-sudut relasi lainnya, dapat kita tentukan dengan cara yang sama seperti diatas (secara geometri), atau dapat pula dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang telah diperoleh sebelumnya (secara aljabar). Sebagai contoh,
Persamaan (1) dapat ditulis menjadi
sin α = sin(180° – α)
Untuk α = 180° + θ, maka bentuk diatas menjadi
sin(180° + θ) = sin(180° – (180° + θ))
sin(180° + θ) = sin(-θ)
sin(180° + θ) = -sin θ ………………………(i)
Persamaan (2) dapat ditulis menjadi
cos α = -cos(180° – α)
Untuk α = 180° + θ, maka bentuk diatas menjadi
cos(180° + θ) = -cos(180° – (180° + θ))
cos(180° + θ) = -cos(-θ)
cos(180° + θ) = -cos θ ………………………(ii)
Jika sudut θ pada persamaan (i) dan (ii) kita ganti dengan α, akan diperoleh
sin(180° + α) = -sin α …………………..(3)
cos(180° + α) = -cos α ………………….(4)
Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Koterminal
Kita tahu bahwa sisi terminal sudut-sudut yang koterminal berada pada posisi yang sama (berhimpit). Akibatnya, sisi terminal sudut-sudut yang koterminal akan memotong lingkaran satuan di titik yang sama. Kita ambil contoh sudut 30° dan -330°.
Mengacu pada definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, maka
x = cos 30° = cos(-330°)
y = sin 30° = sin(-330°)
Secara umum dapat kita simpulkan bahwa, jika α koterminal dengan β maka
sin α = sin β
cos α = cos β
Karena sudut α koterminal dengan (α + k.360°), maka
sin(α + k.360°) = sin α
cos(α + k.360°) = cos α
dengan k bilangan bulat.
Untuk contoh-contoh yang berkaitan dengan persamaan atau sifat-sifat diatas, dapat dibaca pada materi perbandingan trigonometri sudut berelasi.