Menentukan Rumus Persamaan Lingkaran Pelajaran Matematika

Avatar of EduGoEdu
Posted by By EduGoEdu 3 Min Read 430 Views

Rumus-rumus persamaan lingkaran dapat diperoleh dengan menggunakan konsep jarak antara dua titik ataupun konsep Phytagoras. Kedua cara tersebut pada dasarnya sama, karena kita tahu bahwa konsep jarak antara dua titik diperoleh dengan menggunakan konsep phytagoras.

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}=r^{2}}}$$

Bukti :
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran.

Menentukan Rumus Persamaan Lingkaran Pelajaran Matematika

Jika titik A diproyeksikan ke sumbu-x dengan titik proyeksi A’, maka akan terbentuk segitiga OAA’. Segitiga OAA’ siku-siku di A’ dengan
OA’ = x
AA’ = y
OA = r

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada segitiga OAA’ akan diperoleh persamaan
(OA’)2 + (AA’)2 = (OA)2
 x2 + y2 = r2

Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r adalah $$\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}$$

Bentuk Baku Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dengan jari-jari r adalah $$\mathrm{\mathbf{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}}$$

Bukti :

Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat P(a, b) dan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran.

Menentukan Rumus Persamaan Lingkaran Pelajaran Matematika

Jika titik A diproyeksikan ke garis y = b dengan titik proyeksi A’, maka akan terbentuk segitiga PAA’. Segitiga PAA’ siku-siku di A’ dengan
PA’ = x − a
AA’ = y − b
PA = r

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada segitiga PAA’ akan diperoleh persamaan
(PA’)2 + (AA’)2 = (PA)2
(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r adalah $$\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Lingkaran \(\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}\) mempunyai pusat dan jari-jari $$\mathrm{\mathbf{P\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}$$ $$\mathrm{\mathbf{r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}$$
Bukti :
Bentuk umum diatas diperoleh dengan menjabarkan bentuk baku persamaan lingkaran.
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 …(1)

Misalkan :
A = −2a ……………………………………………(2)
B = −2b ……………………………………………(3)
C = a2 + b2 − r2 …………………………………(4)

maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}$$
Dari persamaan (2)
A = −2a
⇔ a = \(\mathrm{-\frac{A}{2}}\) ……………………………(5)

Dari persamaan (3)
B = −2b
⇔ b = \(\mathrm{-\frac{B}{2}}\) ……………………………(6)

Jadi, pusat lingkaran
P(a, b) ⇔ P\(\mathrm{\mathbf{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}\)

Substitusi persamaan (5) dan (6) ke (4)
C = a2 + b2 − r2
C = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2} \right )^{2}}\) + \(\mathrm{\left ( -\frac{B}{2} \right )^{2}}\) − r2
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\)

Jika kedua ruas ditarik tanda akar akan diperoleh
r = \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}\)