Pembahasan Soal UN Turunan Fungsi Pelajaran Matematika

Posted by By EduGoEdu 9 Min Read 935 Views
Pembahasan Soal UN Turunan Fungsi Pelajaran Matematika

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) bidang studi matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Turunan yang meliputi aturan rantai, fungsi naik dan fungsi turun, ekstrim fungsi, nilai maksimum dan minimum dalam interval tertutup.

1. EBT 2002
Ditentukan f(x) = 2x3 βˆ’ 9x2 + 12x. Fungsi f naik dalam interval…
A.  βˆ’1 < x < 2
B.  1 < x < 2
C.  βˆ’2 < x < βˆ’1
D.  x < βˆ’2 atau x > βˆ’1
E.  x < 1 atau x > 2

Pembahasan :
f(x) = 2x3 βˆ’ 9x2 + 12x
f‘(x) = 6x2 βˆ’ 18x + 12

f(x) naik β†’ f‘(x) > 0
6x2 βˆ’ 18x + 12 > 0
x2 βˆ’ 3x + 2 > 0
(x βˆ’ 1)(x βˆ’ 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda”>” maka
x < 1 atau x > 2

Jawaban : E

2. EBT 2002
Nilai maksimum dari fungsi f(x) = \(\frac{1}{3}\)x3 βˆ’ \(\frac{3}{2}\)x2 + 2x + 9 pada interval 0 ≀ x ≀ 3 adalah…
A.  9\(\frac{2}{3}\)
B.  9\(\frac{5}{6}\)
C.  10
D.  10\(\frac{1}{2}\)
E.  10\(\frac{2}{3}\)

Pembahasan :
f(x) = \(\frac{1}{3}\)x3 βˆ’ \(\frac{3}{2}\)x2 + 2x + 9
f‘(x) = x2 βˆ’ 3x + 2

Nilai maks/min berpotensi terjadi pada nilai-nilai stasioner atau nilai fungsi pada ujung-ujung interval.

f(x) stasioner β†’ f‘(x) = 0
x2 βˆ’ 3x + 2 = 0
(x βˆ’ 1)(x βˆ’ 2) = 0
x = 1 atau x = 2

Nilai stasioner :
f(1) = \(\frac{1}{3}\)(1)3 βˆ’ \(\frac{3}{2}\)(1)2 + 2(1) + 9 = 9\(\frac{5}{6}\)
f(2) = \(\frac{1}{3}\)(2)3 βˆ’ \(\frac{3}{2}\)(2)2 + 2(2) + 9 = 9\(\frac{2}{3}\)

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(0) = \(\frac{1}{3}\)(0)3 βˆ’ \(\frac{3}{2}\)(0)2 + 2(0) + 9 = 9
f(3) = \(\frac{1}{3}\)(3)3 βˆ’ \(\frac{3}{2}\)(3)2 + 2(3) + 9 = 10\(\frac{1}{2}\)

Dari nilai-nilai yang diperoleh, maka nilai maksimum f(x) pada interval 0 ≀ x ≀ 3 adalah 10\(\frac{1}{2}\)

Jawaban : D

3. UAN 2003
Fungsi f(x) = x3 + 3x2 βˆ’ 9x βˆ’ 7 turun pada interval…
A.  1 < x < 3
B.  βˆ’1 < x < 3
C.  βˆ’3 < x < 1
D.  x < βˆ’3 atau x > 1
E.  x < βˆ’1 atau x > 3

Pembahasan :
f(x) = x3 + 3x2 βˆ’ 9x βˆ’ 7
f‘(x) = 3x2 + 6x βˆ’ 9

f(x) turun β†’ f‘(x) < 0
3x2 + 6x βˆ’ 9 < 0
x2 + 2x βˆ’ 3 < 0
(x + 3)(x βˆ’ 1) = 0
x = βˆ’3 atau x = 1
Pertidaksamaan bertanda “<” maka
βˆ’3 < x < 1

Jawaban : C

4. UAN 2003
Turunan pertama dari f(x) = sin2(2xβˆ’3) adalah f‘(x) = …
A.  2 cos(4xβˆ’6)
B.  2 sin(4xβˆ’6)
C.  βˆ’2 cos(4xβˆ’6)
D.  βˆ’2 sin(4xβˆ’6)
E.  4 sin(2xβˆ’3)

Pembahasan :
f(x) = sin2(2xβˆ’3)

f‘(x) = 2 sin2-1(2xβˆ’3) cos(2xβˆ’3) 2
f‘(x) = 2. 2 sin(2xβˆ’3) cos(2xβˆ’3)
f‘(x) = 2. sin 2(2xβˆ’3)
f‘(x) = 2 sin (4xβˆ’6)

Jawaban : B

5. UN 2004
Turunan fungsi yang dinyatakan dengan f(x) = \(\mathrm{\frac{x-5}{x+5}}\) adalah f‘(x) = …
A.  \(\mathrm{\frac{-10}{(x+5)^{2}}}\)
B.  \(\mathrm{\frac{5}{(x+5)^{2}}}\)
C.  \(\mathrm{\frac{10}{(x+5)^{2}}}\)
D.  \(\mathrm{\frac{5}{(x-5)^{2}}}\)
E.  \(\mathrm{\frac{10}{(x-5)^{2}}}\)

Pembahasan :
f(x) = \(\mathrm{\frac{x-5}{x+5}}\)

u = x βˆ’ 5 β†’ u‘ = 1
v = x + 5 β†’ v‘ = 1

f‘(x) = \(\mathrm{\frac{u’\,v\,-\,u\,v’}{v^{2}}}\)
f‘(x) = \(\mathrm{\frac{1\,(x+5)\,-\,(x-5)\,1}{(x+5)^{2}}}\)
f‘(x) = \(\mathrm{\frac{x+5-x+5}{(x+5)^{2}}}\)
f‘(x) = \(\mathrm{\frac{10}{(x+5)^{2}}}\)

Jawaban : C


6. UN 2004
Turunan pertama dari y = cos2(2xβˆ’Ο€) adalah y‘ = …
A.  βˆ’2 sin(4xβˆ’2Ο€)
B.  βˆ’ sin(4xβˆ’2Ο€)
C.  βˆ’2 sin(2xβˆ’Ο€) cos(2xβˆ’Ο€)
D.  4 sin(2xβˆ’Ο€)
E.  4 sin(2xβˆ’Ο€) cos(2xβˆ’Ο€)

Pembahasan :
y = cos2(2xβˆ’Ο€)

y‘ = 2 cos2-1(2xβˆ’Ο€) . βˆ’sin(2xβˆ’Ο€) 2
y‘ = βˆ’2. 2 sin(2xβˆ’Ο€) cos(2xβˆ’Ο€)
y‘ = βˆ’2. sin 2(2xβˆ’Ο€)
y‘ = βˆ’2 sin(4xβˆ’2Ο€)

Jawaban : A

7. UN 2005
Turunan dari \(\mathrm{f(x)=\sqrt[3]{cos^{2}\left ( 3x^{2}+5x \right )}}\) adalah f‘(x) = …
A.  \(\frac{2}{3}\)cos–\(^{\frac{1}{3}}\)(3xΒ² + 5x) sin(3xΒ² + 5x)
B.  \(\frac{2}{3}\)(6x+5) cos–\(^{\frac{1}{3}}\)(3xΒ² + 5x)
C.  βˆ’\(\frac{2}{3}\)cos–\(^{\frac{1}{3}}\)(3xΒ² + 5x) sin(3xΒ² + 5x)
D.  βˆ’\(\frac{2}{3}\)(6x+5) tan(3xΒ²+5x)\(\mathrm{\sqrt[3]{cos^{2}(3x^{2}+5x)}}\)
E.  \(\frac{2}{3}\)(6x+5) tan(3xΒ²+5x)\(\mathrm{\sqrt[3]{cos^{2}(3x^{2}+5x)}}\)

Pembahasan :
f(x) = cos\(^{\frac{2}{3}}\)(3xΒ²+5x)

f‘(x) = \(\frac{2}{3}\)cos–\(^{\frac{1}{3}}\)(3xΒ²+5x). βˆ’sin(3xΒ²+5x) (6x+5)
β‡’ βˆ’\(\frac{2}{3}\)(6x+5) \(\mathrm{\frac{sin\left (3x^{2}+5x  \right )}{cos^{\frac{1}{3}}\left ( 3x^{2}+5x \right )}}\)
β‡’ βˆ’\(\frac{2}{3}\)(6x+5) \(\mathrm{\frac{sin\left (3x^{2}+5x  \right )}{cos^{\frac{1}{3}}\left ( 3x^{2}+5x \right )}\times \frac{cos\left ( 3x^{2}+5x \right )}{cos\left ( 3x^{2}+5x \right )}}\)
β‡’ βˆ’\(\frac{2}{3}\)(6x+5) \(\mathrm{\frac{sin\left ( 3x^{2}+5x \right )}{cos\left ( 3x^{2}+5x \right )}\times \frac{cos\left ( 3x^{2}+5x \right )}{cos^{\frac{1}{3}}\left ( 3x^{2}+5x \right )}}\)
β‡’ βˆ’\(\frac{2}{3}\)(6x+5) tan(3xΒ²+5x) cos\(^{\frac{2}{3}}\)(3xΒ²+5x)
β‡’ βˆ’\(\frac{2}{3}\)(6x+5) tan(3xΒ²+5x)\(\mathrm{\sqrt[3]{cos^{2}(3x^{2}+5x)}}\)

Jawaban : D

8. UN 2006
Turunan pertama dari f(x) = sin⁴(3xΒ² βˆ’ 2) adalah f ‘(x) = …
A.  2sinΒ²(3xΒ² βˆ’ 2) sin(6xΒ² βˆ’ 4)
B.  12x sinΒ²(3xΒ² βˆ’ 2) sin(6xΒ² βˆ’ 4)
C.  12x sinΒ²(3xΒ² βˆ’ 2) cos(6xΒ² βˆ’ 4)
D.  24x sinΒ³(3xΒ² βˆ’ 2) cosΒ²(3xΒ² βˆ’ 2)
E.  24x sinΒ³(3xΒ² βˆ’ 2) cos(3xΒ² βˆ’ 2)

Pembahasan :
f(x) = sin⁴(3xΒ² βˆ’ 2)

f‘(x) = 4 sin4-1(3xΒ² βˆ’ 2) cos(3xΒ² βˆ’ 2) 6x
f‘(x) = 24x sinΒ³(3xΒ² βˆ’ 2) cos(3xΒ² βˆ’ 2)

Jawaban : E

9. UN 2007
Jika f(x) = sin2(2x + \(\frac{\pi}{6}\)), maka nilai dari f‘(0) = …
A.  2√3
B.  2
C.  βˆš3
D.  \(\frac{1}{2}\)√3
E.  \(\frac{1}{2}\)√2

Pembahasan :
f(x) = sin2(2x + \(\frac{\pi}{6}\))

f‘(x) = 2 sin2-1(2x + \(\frac{\pi}{6}\)) cos(2x + \(\frac{\pi}{6}\)) 2
f‘(x) = 4 sin(2x + \(\frac{\pi}{6}\)) cos(2x + \(\frac{\pi}{6}\))
f‘(0) = 4 sin(2(0) + \(\frac{\pi}{6}\)) cos(2(0) + \(\frac{\pi}{6}\))
f‘(0) = 4 sin \(\frac{\pi}{6}\) cos \(\frac{\pi}{6}\)
f‘(0) = 4. \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)√3
f‘(0) = √3

Jawaban : C

10. UN 2008
Turunan pertama dari \(\mathrm{y=\frac{sin\,x}{sin\,x+cos\,x}}\) adalah y’ = …
A.  \(\mathrm{\frac{cos\,x}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)
B.  \(\mathrm{\frac{1}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)
C.  \(\mathrm{\frac{2}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)
D.  \(\mathrm{\frac{sin\,x-cos\,x}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)
E.  \(\mathrm{\frac{2sin\,\,cos\,x}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)

Pembahasan :
u = sin x β†’ u‘ = cos x
v = sin x + cos x β†’ v‘ = cos x βˆ’ sin x

y’ = \(\mathrm{\frac{u’\,v-u\,v’}{v^{2}}}\)
y’ = \(\mathrm{\frac{cos\,x\left ( sin\,x+cos\,x \right )-sin\,x\left ( cos\,x-sin\,x \right )}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)
y‘ = \(\mathrm{\frac{cos\,x\,sin\,x+cos^{2}x-cos\,x\,sin\,x+sin^{2}x}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)
y‘ = \(\mathrm{\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)
y‘ = \(\mathrm{\frac{1}{\left ( sin\,x+cos\,x \right )^{2}}}\)

Jawaban : B

11. UN 2008
Diketahui f(x) = \(\mathrm{\frac{x^{2}+3}{2x+1}}\). Jika f‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2 f‘(0) = …
A.  βˆ’10
B.  βˆ’9
C.  βˆ’7
D.  βˆ’5
E.  βˆ’3

 Pembahasan :
f(x) = \(\mathrm{\frac{x^{2}+3}{2x+1}}\)
f(0) = \(\mathrm{\frac{0^{2}+3}{2.0+1}}\)
f(0) = 3

u = x2 + 3 β†’ u‘ = 2x
v = 2x + 1 β†’ v’ = 2

f‘(x) = \(\mathrm{\frac{u’\,v\,-\,u\,v’}{v^{2}}}\)
f‘(x) = \(\mathrm{\frac{2x(2x+1)-(x^{2}+3)2}{(2x+1)^{2}}}\)
f‘(x) = \(\mathrm{\frac{4x^{2}+2x-2x^{2}-6}{(2x+1)^{2}}}\)
f‘(x) = \(\mathrm{\frac{2x^{2}+2x-6}{\left (2x+1  \right )^{2}}}\)
f‘(0) = \(\mathrm{\frac{2(0)^{2}+2(0)-6}{(2(0)+1)^{2}}}\)
f‘(0) = βˆ’6

Jadi, f(0) + 2 f‘(0) = 3 + 2(βˆ’6) = βˆ’9

Jawaban : B

12. UN 2014
Diketahui \(\mathrm{g(x)=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+1}\) ; \(\mathrm{f(x)=g(2x-1)}\), A suatu kontanta. Jika f naik pada \(\mathrm{x\leq 0}\) atau \(\mathrm{x\geq 1}\), nilai maksimum relatif g adalah…
A.  \(\frac{7}{3}\)
B.  \(\frac{5}{3}\)
C.  \(\frac{1}{3}\)
D.  \(-\frac{1}{3}\)
E.  \(-\frac{5}{3}\)

Pembahasan :
g(x) = \(\frac{1}{3}\)x3 βˆ’ A2x + 1
f(x) = g(2x βˆ’ 1)
f(x) = \(\frac{1}{3}\)(2x βˆ’ 1)3 βˆ’ A2(2x βˆ’ 1) + 1
f(x) = \(\frac{1}{3}\)(2x βˆ’ 1)3 βˆ’ 2A2x + A2 + 1

f‘(x) = \(\frac{1}{3}\). 3(2x βˆ’ 1)3-1. 2 βˆ’ 2A2
f‘(x) = 2(2x βˆ’ 1)2 βˆ’ 2A2
f‘(x) = 8x2 βˆ’ 8x + 2 βˆ’ 2A2

Karena f(x) naik pada x ≀ 0 atau x β‰₯ 1, maka 0 dan 1 adalah akar-akar dari f‘(x) = 0.
x1 x2 = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\)
0. 1 = \(\mathrm{\frac{2-2A^{2}}{8}}\)
0 = 2 βˆ’ 2A2
A2 = 1

diperoleh
g(x) = \(\frac{1}{3}\)x3 βˆ’ x + 1
g‘(x) = x2 βˆ’ 1
g”(x) = 2x

Jika g‘(a) = 0, maka nilai maks/min relatif fungsi g akan terjadi pada x = a.
g‘(x) = 0
x2 βˆ’ 1 = 0
(x + 1)(x βˆ’ 1) = 0
x = βˆ’1 atau x = 1

Uji turunan kedua
g”(a) < 0, maka g(x) mencapai maksimum relatif pada x = a.
g”(a) > 0, maka g(x) mencapai minimum relatif pada x = a.

g”(βˆ’1) = 2(βˆ’1) = βˆ’2 < 0
g”(1) = 2(1) = 2 > 0

Karena g”(βˆ’1) < 0, maka nilai maksimum relatif g dicapai pada x = βˆ’1
g(βˆ’1) = \(\frac{1}{3}\)(βˆ’1)3 βˆ’ (βˆ’1) + 1
g(βˆ’1) = \(\frac{5}{3}\)

Jawaban : B

13. UN 2016
Turunan pertama fungsi f(x) = cos2(3xβˆ’5) adalah…
A.  f‘(x) = βˆ’6 cos (3xβˆ’5)
B.  f‘(x) = βˆ’3 sin (3xβˆ’5)
C.  f‘(x) = βˆ’3 sin (6xβˆ’10)
D.  f‘(x) = 3 cos (6xβˆ’10)
E.  f‘(x) = 3 sin (6xβˆ’10)

 Pembahasan :
f(x) = cos2(3xβˆ’5)

f‘(x) = 2 cos2-1(3xβˆ’5). βˆ’sin(3xβˆ’5) 3
f‘(x) = βˆ’3. 2 sin(3xβˆ’5) cos(3xβˆ’5)
f‘(x) = βˆ’3 sin 2(3xβˆ’5)
f‘(x) = βˆ’3 sin (6xβˆ’10)

Jawaban : C

14. UN 2016
Turunan pertama dari fungsi f(x) = cos5(Ο€βˆ’2x) adalah…
A.  f‘(x) = 5 cos3(Ο€βˆ’2x) sin (2Ο€βˆ’4x)
B.  f‘(x) = 5 cos3(Ο€βˆ’2x) sin (Ο€βˆ’2x)
C.  f‘(x) = 5 cos3(Ο€βˆ’2x) cos (2Ο€βˆ’4x)
D.  f‘(x) = βˆ’5 cos3(Ο€βˆ’2x) sin (2Ο€βˆ’4x)
E.  f‘(x) = βˆ’5 cos3(Ο€βˆ’2x) sin (Ο€βˆ’2x)

Pembahasan :
f(x) = cos5(Ο€βˆ’2x)

f‘(x) = 5 cos5-1(Ο€βˆ’2x). βˆ’sin(Ο€βˆ’2x) (βˆ’2)
f‘(x) = 5. 2 cos4(Ο€βˆ’2x) sin(Ο€βˆ’2x)
f‘(x) = 5 cos3(Ο€βˆ’2x) 2 sin(Ο€βˆ’2x) cos(Ο€βˆ’2x)
f‘(x) = 5 cos3(Ο€βˆ’2x) sin 2(Ο€βˆ’2x)
f‘(x) = 5 cos3(Ο€βˆ’2x) sin (2Ο€βˆ’4x)

 Jawaban : A