Pertidaksamaan rasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi rasional, yaitu fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) dengan syarat g(x) ≠ 0.
Bentuk umum pertidaksamaan rasional :
\(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) > 0 atau \(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) ≥ 0 ; g(x) ≠ 0
\(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) < 0 atau \(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) ≤ 0 ; g(x) ≠ 0.
Berikut hal-hal yang tidak dibenarkan dalam menyederhanakan bentuk pertidaksamaan rasional karena akan merubah domain fungsi tersebut :
- Kali silang $$\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}> c\;\;{\color{Red} \not\equiv}\;\; f(x)>c\,.\,g(x)}$$
- Mencoret fungsi ataupun faktor yang sama pada pembilang dan penyebut $$\mathrm{\frac{f(x)\,.\,g(x)}{g(x)}> c\;\;{\color{Red} \not\equiv}\;\; f(x)>c}$$
Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
- Nyatakan dalam bentuk umum.
- Tentukan pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
- Tulis pembuat nol pada garis bilangan dan tentukan tanda untuk tiap-tiap interval pada garis bilangan.
- Tentukan daerah penyelesaian. Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥” daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif dan untuk pertidaksamaan “<” atau “≤” daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negaitf.
- Dengan memperhatikan syarat bahwa penyebut tidak sama dengan nol, tulis himpunan penyelesaian yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.
Pembuat nol :
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Syarat :
x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1
Untuk interval x < −1, ambil x = −2 :
\(\mathrm{\frac{-2-3}{-2+1}}\) = 5 (+)
Untuk interval −1 < x ≤ 3, ambil x = 0 :
\(\mathrm{\frac{0-3}{0+1}}\) = −3 (−)
Untuk interval x > 3, ambil x = 4 :
\(\mathrm{\frac{4-3}{4+1}}\) = \(\frac{1}{5}\) (+)
Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
Contoh 2
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{2x-1}{4-x}}\) > 0
Jawab :
Pembuat nol :
2x − 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
4 − x = 0 ⇒ x = 4
Syarat :
4 − x ≠ 0 ⇒ x ≠ 4
Karena pertidaksamaan bertanda “>”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
Contoh 3
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}< 0}\)
Jawab :
\(\mathrm{\frac{(x-1)(x-1)}{x+2}<0}\)
Pembuat nol :
(x − 1)(x − 1) = 0 ⇒ x = 1
x + 2 = 0 ⇒ x = −2
Syarat :
x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2
Contoh 4
\(\mathrm{\frac{x-5}{(x+3)(x+3)}\leq 0}\)
Pembuat nol :
x − 5 = 0 ⇒ x = 5
(x + 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = −3
Syarat :
(x + 3)(x + 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ −3
Karena pertidaksamaan bertanda “≤”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
HP = {x ≤ 5 dan x ≠ −3}
Dari contoh-contoh diatas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut :
- Pembuat nol pada penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong apapun tanda pertidaksamaan.
- Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling positif dan negatif jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang berbeda (contoh 1 dan 2).
- Tanda untuk tiap-tiap interval menjadi tidak berselang-seling jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang sama (contoh 3 dan 4).
Pertidaksamaan rasional yang memuat fungsi definit
Pada materi fungsi kuadrat kita mengenal adanya fungsi yang selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real (definit positif) dan fungsi yang selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real (definit negatif).
Fungsi definit positif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan.
Contoh 5
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x-4}{x^{3}+x}\leq 0}\)
Jawab :
\(\mathrm{\frac{x-4}{x(x^{2}+1)}\leq 0}\)
x2 + 1 merupakan fungsi definit positif, dapat dibuktikan dengan syarat definit positif yaitu : a > 0 dan D < 0.
Jadi, x2 + 1 dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
\(\mathrm{\frac{x-4}{x}\leq 0}\)
Pembuat nol :
x − 4 = 0 ⇒ x = 4
x = 0
Syarat :
x ≠ 0
Karena pertidaksamaan bertanda “≤”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x ≤ 4}
Fungsi definit negatif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik.
Contoh 6
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{-x^{2}+x-2}{x^{2}-4x+3}\leq 0}\)
Jawab :
\(\mathrm{\frac{-x^{2}+x-2}{(x-1)(x-3)}\leq 0}\)
−x2 + x − 2 merupakan fungsi definit negatif, dapat dibuktikan dengan syarat definit negatif yaitu : a < 0 dan D < 0.
Jadi, −x2 + x − 2 dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
\(\mathrm{\frac{1}{(x-1)(x-3)}\geq 0}\)
Pembuat nol :
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 atau x = 3
Syarat :
(x − 1)(x − 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 atau x ≠ 3
Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 3}
Latihan Soal Pertidaksaman Rasional
Latihan 1
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}\geq 1}\)
Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}}\) − 1 ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{2x-1-x-2}{x+2}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x-3}{x+2}}\) ≥ 0
Pembuat nol :
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 2 = 0 ⇒ x = −2
Syarat :
x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2
Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < −2 atau x ≥ 3}
Latihan 2
Tentukan HP dari \(\mathrm{2>\frac{5x}{x-4}}\)
Jawab :
Pertidaksamaan diatas dapat ditulis menjadi :
\(\mathrm{\frac{5x}{x-4}}\) < 2
⇔ \(\mathrm{\frac{5x}{x-4}}\) − 2 < 0
⇔ \(\mathrm{\frac{5x}{x-4}-\frac{2(x-4)}{x-4}}\) < 0
⇔ \(\mathrm{\frac{5x-2x+8}{x-4}}\) < 0
⇔ \(\mathrm{\frac{3x+8}{x-4}}\) < 0
Pembuat nol :
3x + 8 = 0 ⇒ x = \(-\frac{8}{3}\)
x − 4 = 0 ⇒ x = 4
Syarat :
x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4
Karena pertidaksamaan bertanda “<“, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {\(-\frac{8}{3}\) < x < 4}
Latihan 3
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{1-3x}{2x-2}\leq \frac{1}{2}}\)
Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{1-3x}{2x-2}-\frac{1}{2}}\) ≤ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{1-3x}{2(x-1)}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}}\) ≤ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{1-3x-x+1}{2(x-1)}}\) ≤ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{2-4x}{2(x-1)}}\) ≤ 0
Pembuat nol :
2 − 4x = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
x − 1 = 0 ⇒ x = 1
Syarat :
x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
Karena pertidaksamaan bertanda “≤”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ \(\frac{1}{2}\) atau x > 1}
Latihan 4
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}\geq 3}\)
Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}}\) − 3 ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}}\) − \(\mathrm{\frac{3(x+1)}{x+1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x-3x-3}{x+1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}-3}{x+1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{x+1}}\) ≥ 0
Pembuat nol :
(x + √3)(x − √3) = 0 ⇒ x = √3 atau x = −√3
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Syarat :
x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1
Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−√3 ≤ x < −1 atau x ≥ √3}
Latihan 5
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x+1}{x-2}\geq \frac{1}{x-1}}\)
Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{x+1}{x-2}-\frac{1}{x-1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-1)-(x-2)}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}-1-x+2}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}-x+1}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0
x2 − x + 1 merupakan fungsi definit positif, sehingga dapat diabaikan tanpa harus mengubah atau membalik tanda pertidaksamaan.
Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
\(\mathrm{\frac{1}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0
Pembuat nol :
(x − 2)(x − 1) = 0 ⇒ x = 2 atau x = 1
Syarat :
(x − 2)(x − 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 atau x ≠ 1
Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 2}
Latihan 6
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{4}{-x^{2}-4}\geq \frac{1}{x-1}}\)
Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{4}{-x^{2}-4}-\frac{1}{x-1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{4(x-1)-(-x^{2}-4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{4x-4+x^{2}+4}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+4x}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x(x+4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0
−x2 − 4 merupakan fungsi definit negatif sehingga dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan diubah atau dibalik.
Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
\(\mathrm{\frac{x(x+4)}{x-1}}\) ≤ 0
Pembuat nol :
x(x + 4) = 0 ⇒ x = 0 atau x = −4
x − 1 = 0 ⇒ x = 1
Syarat :
x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
Karena pertidaksamaan bertanda “≤” maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ −4 atau 0 ≤ x < 1}